Znaleźć gęstość zm. los.
-
marcin5672
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 13 gru 2008, o 18:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Znaleźć gęstość zm. los.
Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=Z^{2}}\) gdzie Z jest zmienną losową o gęstości f(x) i dystrybuancie F(x)
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Znaleźć gęstość zm. los.
Niech \(\displaystyle{ Z}\) będzie zmienna losową typu absolutnie ciągłego o funkcji gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\)
Rozważmy, zmienna losową w postaci \(\displaystyle{ Y=Z^2}\). Wówczas
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(Y<t)=P(Z^2<t)=P(-\sqrt{t}<Z<\sqrt{t})=\\=F_Z(\sqrt{t})-F_Z(-\sqrt{t}),\quad \mbox{dla } t>0}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}(f_z(\sqrt{t})+f_z(-\sqrt{t}))}\), dla \(\displaystyle{ t>0}\)
Rozważmy, zmienna losową w postaci \(\displaystyle{ Y=Z^2}\). Wówczas
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(Y<t)=P(Z^2<t)=P(-\sqrt{t}<Z<\sqrt{t})=\\=F_Z(\sqrt{t})-F_Z(-\sqrt{t}),\quad \mbox{dla } t>0}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}(f_z(\sqrt{t})+f_z(-\sqrt{t}))}\), dla \(\displaystyle{ t>0}\)