Witam,
Mam tu zadanie z kolokwium, które rozwiązałem z błędem, niestety nie potrafię stwierdzić, dlaczego powinno być tak, a nie inaczej. Zadanie wiąże się ze schematami serii i twierdzeniem Linderberga-Levy'ego.
Zad. Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, \ldots}\) są niezależne, mają wspólny rozkład jednostajny w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y_{n} = n^{-\frac{3}{2}}(X_{1}+2X_{2}+\ldots+nX_{n})}\) znajdź \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} P(Y_{n} < \frac{1}{ \sqrt{3}})}\).
Zaczynam od utworzenia schematu serii. Niech \(\displaystyle{ X_{1}^{'}=\frac{X_{1}}{\sqrt{n^{3}}}, X_{2}^{'}=2\frac{X_{2}}{\sqrt{n^{3}}}, \ldots, X_{n}^{'}=n\frac{X_{n}}{\sqrt{n^{3}}}}\).
\(\displaystyle{ X_{1}^{'}, X_{2}^{'}, \ldots, X_{n}^{'}}\) jest schematem serii i \(\displaystyle{ Y_n= \sum_{i=1}^{n} X_i^'}\)
Liczę, ile wynosi \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_n^'}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 X_n^'}\).
1) \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_n^{'} = \mathbf{E} (\frac{nX_n}{\sqrt{n^3}}) = \frac{n}{\sqrt{n^3}}\mathbf{E}X_n = 0}\).
2) \(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 X_n^{'} = \mathbf{D}^2(\frac{nX_n}{\sqrt{n^3}}) = \frac{n^2}{n^3}\mathbf{D}^2 X_n = \frac {1}{3n} \to_{n \to \infty} 0}\).
I w tym momencie wystąpił błąd, tzn. w punkcie 2 powinno być:
\(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 X_n^{i} = \mathbf{D}^2(\frac{iX_i}{\sqrt{n^3}}) = \frac{i^2}{n^3}\mathbf{D}^2 X_i = \frac {1}{3}( \sum_{i=1}^{n} i^2 ) \frac{1}{n^3}}\).
Dlaczego? Za odpowiedź dziękuję.
-- 26 stycznia 2009, 18:09 --
Już się zorientowałem na czym polegał mój błąd. Otóż mamy \(\displaystyle{ n}\)-ty schemat serii zmiennych:
\(\displaystyle{ X_1^n, X_2^n, \ldots, X_{k_n}^n}\)
przy czym \(\displaystyle{ X_i^n=\frac{iX_i}{\sqrt{n^3}}}\). W tym przypadku akurat jest \(\displaystyle{ k_n=n}\), co może być mylące.
Dalej, licząc \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_i^n}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 X_i^n}\) zapomniałem, że trzeba użyć tego do wyliczenia \(\displaystyle{ \mathbf{E}S_n}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 S_n}\). A zatem:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}S_n=n\mathbf{E}X_i^n=\frac{n i}{\sqrt{n^3}}\mathbf{E}X_i = 0}\) (bo \(\displaystyle{ X_i^n =\frac{iX_i}{\sqrt{n^3}}}\)).
Tu się nic nie zmienia. Natomiast wariancję sumy liczę tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 S_n=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{D}^2 X_i^n=\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3}\mathbf{D}^2 X_i = \frac{1}{3n^3}\sum_{i=1}^n i^2}\). Tu korzystam ze wzoru na sumę kwadratów i otrzymuję:
\(\displaystyle{ \mathbf{D}^2 S_n = \frac{1}{3n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\mathbf{D}^2 S_n=\frac{1}{9}}\).
Zatem kandydatem na rozkład \(\displaystyle{ Y_n}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,\frac{1}{9})}\). Sprawdzam więc, czy war. Lindeberga jest spełniony. Zakładam, że tak i dalej zadanie rozwiązuję korzystając z dystrybuanty tego rozkładu uprzednio standaryzując:
Widać, że \(\displaystyle{ Y_n \sim \frac{1}{3}G}\), gdzie \(\displaystyle{ G\sim \mathcal{N}(0,1)}\). Dalej mam
\(\displaystyle{ P(Y_n<\frac{1}{\sqrt{3}})=P(\frac{1}{3}G<\frac{1}{\sqrt{3}})=P(G<\sqrt{3})=\phi({\sqrt{3}})}\).
Jeśli jest gdzieś jakiś błąd, bardzo proszę o sprawdzenie. Dziękuję z góry.
-- 26 stycznia 2009, 18:43 --
Tak już właściwie z doskoku, żeby zadanie było kompletne - warunek Lindeberga (sprawdzam dla \(\displaystyle{ X_i^n}\)).
\(\displaystyle{ L(n,\epsilon) = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (X_i^n - \mathbf{E}X_i^n)^2 \mathbf{1}_{\{|X_i^n-\mathbf{E}X_i^n|\}>\epsilon}= \ldots}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_i^n = 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ \ldots = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (X_i^n)^2 \mathbf{1}_{\{|X_i^n|>\epsilon\}} = \ldots}\)
\(\displaystyle{ \ldots = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (\frac{iX_i}{\sqrt{n^3}})^2 \mathbf{1}_{|\{\frac{iX_i}{\sqrt{n^3}}|>\epsilon\}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{n^3}\mathbf{E} (X_i)^2 \mathbf{1}_{\{\frac{i}{\sqrt{n^3}}|X_i|>\epsilon\}} = \ldots}\)
\(\displaystyle{ \ldots = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{n^3}\frac{1}{3} \mathbf{1}_{\{|X_i|>\frac{\sqrt{n^3}\epsilon}{i}\}} = \frac{1}{3\sqrt{n^3}} \sum_{i=1}^{n} i^2 \mathbf{1}_{\{|X_i|>\frac{\sqrt{n^3}\epsilon}{i}\}}}\)
Mamy \(\displaystyle{ L(n,\epsilon)\to_{n\to \infty} 0}\), ponieważ dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n}\) jest
\(\displaystyle{ \mathbf{1}_{\{|X_i|>\frac{\sqrt{n^3}\epsilon}{i}\}} = 0}\).
I tym samym zadanie zostało rozwiązane. Jeśli ktoś znajdzie jakiś błąd, byłbym wdzięczny za zwrócenie mi uwagi.