Mam takie zadanie:
Wykazać, że jeśli X ma rozkład \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\), to \(\displaystyle{ E(e^{X})=e^{m+\frac {1}{2}\sigma^{2}}\)
Nie mam kompletnie pomysłu jak mam go zacząć, dlatego proszę o jakieś wskazóki...
Z góy dzięki
wartość oczekiwana
-
sigma_algebra1
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
wartość oczekiwana
Jest to wartosc funkcji tworzacej momenty dla t=1, ale po kolei:
\(\displaystyle{ E(e^{X})= \int_{- \infty }^{ \infty } e^x \cdot \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma} e^{(- \frac{1}{2{\sigma}^2} (x-m)^2)}dx}\)
JAk sobie odpowiednio pogrupujesz argumenty w funkcji wykładniczej dojdziesz do postaci:
\(\displaystyle{ E(e^{X})= \int_{- \infty }^{ \infty } e^x \cdot \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma} e^{(- \frac{1}{2{\sigma}^2} (x-m)^2)}dx =e^{(m+ \frac{{\sigma}^2}{2} )}\int_{- \infty }^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma} e^{(- \frac{1}{2{\sigma}^2} (x-(m+{\sigma}^2))^2)}dx = e^{m+\frac {1}{2}\sigma^{2}}\)
poniewaz pod ta ostatnia całka jest gęstośc rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ N(m+{\sigma}^2,{\sigma}^2)}\) więc ta całka jest równa 1.
\(\displaystyle{ E(e^{X})= \int_{- \infty }^{ \infty } e^x \cdot \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma} e^{(- \frac{1}{2{\sigma}^2} (x-m)^2)}dx}\)
JAk sobie odpowiednio pogrupujesz argumenty w funkcji wykładniczej dojdziesz do postaci:
\(\displaystyle{ E(e^{X})= \int_{- \infty }^{ \infty } e^x \cdot \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma} e^{(- \frac{1}{2{\sigma}^2} (x-m)^2)}dx =e^{(m+ \frac{{\sigma}^2}{2} )}\int_{- \infty }^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma} e^{(- \frac{1}{2{\sigma}^2} (x-(m+{\sigma}^2))^2)}dx = e^{m+\frac {1}{2}\sigma^{2}}\)
poniewaz pod ta ostatnia całka jest gęstośc rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ N(m+{\sigma}^2,{\sigma}^2)}\) więc ta całka jest równa 1.