wartość oczekiwana

[mmarry]

Obliczyć \(\displaystyle{ E(\frac{X^{2}}{X^{2}+Y2}})}\), gdzie X i Y są zmiennymi losowymi niezaleznymi i mają standardowy rozkąłd normalny.
Wiem, że skoro X i Y są niezależne to prawdziwy będzie wzór, że E(XY)=E(X)*E(Y), i w zadaniu będzie tak:\(\displaystyle{ E(X^{2})*E(\frac{1}{X^2+Y^{2}})}\).
I tu własnie mam problem, co dalej z \(\displaystyle{ E(\frac{1}{X^2+Y^{2}})}\) mam zrobić nie ma jakiegoś wzrou na wartość oczekiwaną przy dzieleniu chyba...
Z góry dzięki za jakąkolwiek wskazówkę co z tym mam zrobić bo dalej już sobie powinnam poradzić

[sigma_algebra1]

Wiem, że skoro X i Y są niezależne to prawdziwy będzie wzór, że E(XY)=E(X)*E(Y), i w zadaniu będzie tak:\(\displaystyle{ E(X^{2})*E(\frac{1}{X^2+Y^{2}})}\).

czy aby na pewno z niezaleznosci X i Y to własnie wynika?


wskazówka, jeżeli X i Y są i.i.d. to powinno byc:
\(\displaystyle{ E(\frac{X^{2}}{X^{2}+Y2}})= E(\frac{Y^{2}}{X^{2}+Y2}})}\)

[mmarry]

wydawało mi się , że będzie wynikało,ale skoro tak nie jest to już kompletnie nie mam pojęcia jak mam zacząć to zadanie....a ta wskazówka też niewiele mi mówi...

[sigma_algebra1]

\(\displaystyle{ E(\frac{X^{2}}{X^{2}+Y2}})= E(1-\frac{Y^{2}}{X^{2}+Y2}})}\) to plus wskazowka na moje oko daje:

\(\displaystyle{ E(\frac{X^{2}}{X^{2}+Y2}})= \frac{1}{2}}\)

[mmarry]

a czy mogłabyś mi napisać dokładniej skąd ta \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\) się wzięła, jakoś dalej tego nie widzę, czy to ma jakiś zwiazek z tym że \(\displaystyle{ E(X^{2})=m^{2}+\sigma^{2}}\)??

-- 26 stycznia 2009, 16:16 --

już zrozumiałam a powiedz mi jeszcze czy ta równość:

wskazówka, jeżeli X i Y są i.i.d. to powinno byc:
\(\displaystyle{ E(\frac{X^{2}}{X^{2}+Y2}})= E(\frac{Y^{2}}{X^{2}+Y2}})}\)

to z jakiegoś twierdzenia czy zależności wynika...?? Czy tutaj wogóle coś daje fakt że X i Y są standardowego rozkładu normalnego??

[sigma_algebra1]

X i Y sa i.i.d. No jeśli X i Y maja taki sam rozkład to \(\displaystyle{ \frac{X^2}{X^2+Y^2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{Y^2}{X^2+Y^2}}\) podobnie.