Schemat bernoulliego zadanie i problem ...

[MitS]

Witam!

Mam zadanie:
Rzucamy 4 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym i trzecim żucie otrzymamy orła.

Ja zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ n = 4}\)
\(\displaystyle{ k = 1 ; 3}\)
\(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ q = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P1 = {4\choose 1} * (\frac{1}{2})^1 * (\frac{1}{2})^3 = 4 * \frac{1}{2} * \frac{1}{8} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P2 = {4\choose 3} * (\frac{1}{2})^3 * (\frac{1}{2})^4-3 = 4 * \frac{1}{8} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4}}\)

P(A)=P1+P2
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}}\)

Czy dobrze zrobiłem ???
Pozdrawiam

[Janek Kos]

Ja zrobiłem tak:...
Czy dobrze zrobiłem ???

Niestety nie. Korzystając ze schematu Bernouliego dostajesz prawdopodobieństwo zadanej liczby sukcesów, oznaczyłeś to literką k, w zadanej ilości prób, u Ciebie n. Nic nie mówi to jednak o kolejności otrzymywania sukcesów, stąd zresztą dwumian Newtona we wzorze. A w pierwszym rzucie p. orła to raczej 1/2, nie 1/4. Może źle przepisałeś albo ja to źle odczytuję ale z treści wynika, że to prawdop. przedstawia się tak: (1.rzut_orzeł=1/2)*(2.rzut_cokolwiek=1)*(3.rzut_orzeł=1/2)*(4.rzut_cokolwiek=1)=1/4. Albo jak wolisz Ω = 16, A={(o,o,o,o),(o,o,o,r),(o,r,o,r),(o,r,o,o)}; |A|=4, czyli p=1/4

[Jack]

Z.1
Rzucamy 4 razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła co najmniej 3 razy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A'.
Z.2
Z urny zawierającej 6 kul białych i 9 zielonych losujemy 5 razy po jednej kuli, którą po wylosowaniu wrzucamy z powrotem do urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 3 razy kuli białej.
Z.3
Z talii liczącej 36 kart 6 razy losujemy jedną kartę, po każdym losowaniu wylosowaną kartę zwracamy do talii. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że asa wylosujemy trzykrotnie ?
Z.4
Strzelec trafia w tarczę z prawdopodobieństwem 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo , że na 10 strzałów:
a) 6 razy trafi w tarczę
b) 9 razy trafi w tarczę

Z góry dziekujem bardzo

[Janek Kos]

Zad1 ..

Zad 1.
Co najmniej 3 razy, czyli A=(3 + 4) razy,co daje \(\displaystyle{ P(k=3)={4\choose 3}{\frac{1}{2}}^{3}{\frac{1}{2}}=4{\frac{1}{16}}={\frac{1}{4}}\ P(k=4)={\frac{1}{16}}\ P(3+4)={\frac{5}{16}}\ P(A')=1-P(3+4)={\frac{11}{16}}}\)

Zad 2,3,4 robi się wg. schematu, który jest poniżej, wstawiając w miejsce odpowiednich literek odpowiednie wartości. Korzysta się ze schematu Bernouliego, który mówi o prawdopodobieństwie k-sukcesów w n-niezależnych próbach, gdy interesuje nas z jakim prawd. otrzymamy tyle ile chcemy sukcesów przy powtarzaniu jakiegoś doświadczenia (np. jakie jest prawd. 50-orłów na 60-rzutów monetą itp.). Jeżeli losowań dokonujemy ze zwracaniem, to traktujemy to jako niezależne próby. Jeżeli wiemy, że podany model opiera się na schemacie Bernouliego, to cała sprawa sprowadza się do znalezienia pawdopodobieństwa sukcesu w jednej próbie, prawdopodobieństwo to zazwyczaj jest podawane (por. Z. 4). Schemat natomiast wygląda tak \(\displaystyle{ P(x=k,n;p)={n\choose{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\ k=1...n}\), literki interpretujesz jako:
n-liczba prób (rzutów monetą, strzałów do tarczy, losowań z urny ze zwracaniem...)
k-liczba sukcesów(4-orły na 10 rzutów, 7- trafień na 20 strzałów...)
(n-k) - to liczba porażek. Ważne jest zrozumienie wzoru, później to już wszystko idzie łatwiej.
Ten \(\displaystyle{ p^{k}(1-p)^{n-k}}\) fragment wzoru mówi tyle, że najpierw przez k-prób mieliśmy sukcesy (prawd. p) a przez resztę, czyli (n-k) mieliśmy prażki( prawd. 1-p). Wprowadzając do wzoru \(\displaystyle{ {n\choose{k}}}\) rozmieszczamy nasze doświadczenia zakończone sukcesem w losowych miejscach ciągu losowań, bo nie interesuje nas kolejność, a możemy to zrobić właśnie na \(\displaystyle{ {n\choose{k}}}\) sposobów.

Z. 4. n=10; p=0.8; a)k=6; b)k=9.
Z. 3. n=6; jeżeli w tej talii są 4-asy, to p= 1/9; k=3
Z. 2. n=5; p=6/15; k=0; k=1; k=2; k=3 i prawd. dla każdego k trzeba dodać.
Mam nadzieje, że pomogłem. Pozdrawiam.