Mam daną gęstość:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^{2}} dla 1\leqslant |x| \leqslant 2}\)
Mam wyznaczyć dystrybuantę, ale nie wychodzi mi tak jak mam w odpowiedzi,jeśli ktoś mógłby mi podać jaki wychodzi wynik to byłabym wdzięczna
wyznaczyć dystrybuantę
-
N4RQ5
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 15 lis 2006, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki/Wawa
- Pomógł: 104 razy
wyznaczyć dystrybuantę
Dla t<-2 na pewno będzie 0 a dla t>2 1.
Pozostaje wyznaczyć dla t między -2 i 2.
Dla x między -1 i 1 gęstość jest równa zero więc dystrybuanta powinna być stała.
Dla t między -2 i -1 mamy:
\(\displaystyle{ F(t)=\int\limits_{-2}^t \frac1{x^2} \mbox d x = \left[ \frac {-1} x \right ]_{-2}^t=\frac {-1}t - \frac 1 2}\)
Dalej aż do 1 dystrybuanta będzie stale równa F(-1)=1/2 a od 1 do 2:
\(\displaystyle{ F(t)=\frac 1 2 +\int\limits_{1}^t \frac1{x^2} \mbox d x = \frac 12 + \left[ \frac {-1} x \right ]_{1}^t=\frac 12 + \frac {-1}t + 1 = \frac 3 2 - \frac 1 t}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ F(t)=\begin{cases}0 & dla \ t<-2\\
\frac {-1}t - \frac 1 2 & dla \ -2\leq t \leq -1\\
\frac 12 & dla \ |t| < 1\\
\frac 3 2 - \frac 1 t & dla\ 1\leq t \leq 2\\\
1&dla \ t>2\end{cases}}\)
Pozostaje wyznaczyć dla t między -2 i 2.
Dla x między -1 i 1 gęstość jest równa zero więc dystrybuanta powinna być stała.
Dla t między -2 i -1 mamy:
\(\displaystyle{ F(t)=\int\limits_{-2}^t \frac1{x^2} \mbox d x = \left[ \frac {-1} x \right ]_{-2}^t=\frac {-1}t - \frac 1 2}\)
Dalej aż do 1 dystrybuanta będzie stale równa F(-1)=1/2 a od 1 do 2:
\(\displaystyle{ F(t)=\frac 1 2 +\int\limits_{1}^t \frac1{x^2} \mbox d x = \frac 12 + \left[ \frac {-1} x \right ]_{1}^t=\frac 12 + \frac {-1}t + 1 = \frac 3 2 - \frac 1 t}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ F(t)=\begin{cases}0 & dla \ t<-2\\
\frac {-1}t - \frac 1 2 & dla \ -2\leq t \leq -1\\
\frac 12 & dla \ |t| < 1\\
\frac 3 2 - \frac 1 t & dla\ 1\leq t \leq 2\\\
1&dla \ t>2\end{cases}}\)