Rozklad losowy zmiennej N

[uraharu]

Wytrzymalosc stalowych lin( w kg/cm2) pochodzacych z produkcji masowej jest zmienna losowa o rozkladzie N(1000,50) Jaki procent lin charakteryzuje sie wytrzymaloscia rozniaca sie od sredniej o nie wiecej niz 25 kg/cm2 ?

prosze o pomoc przy tym zadaniu

[soku11]

Zmienna X ma wiec rozklad:
\(\displaystyle{ X\sim \mathbb{N}(1000,50)\\
m=1000,\;\;\sigma^2=50\\}\)

A zadanie polega na obliczeniu:
\(\displaystyle{ P(|X-1000|>25)=P(X-1000>25 \cup X-1000<-25)=
P(X>1025 \cup X<975)=1-P(975<X<1025)=?}\)

Liczymy to zamieniajac dystrybuante zmiennej gaussowskiej na dystrybuante rozkladu normalnego, czyli:
\(\displaystyle{ 1-P(975<X<1025)=F_X(1025)-F_X(975)=
1-\mathcal{F}\left( \frac{1025-1000}{\sqrt{50}}\right)+\mathcal{F}\left( \frac{975-1000}{\sqrt{50}}\right)=
1-\frac{1}{2}- \phi\left(\frac{25}{\sqrt{50}}\right)+\frac{1}{2}-\phi\left( \frac{25}{\sqrt{50}}\right)=
1-2\phi\left(\frac{25}{\sqrt{50}}\right)=
1-2\phi\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)=\ldots}\)

Ta wartosc wystarczy odczytac z tablicy i masz gotowy wynik Pozdrawiam.

[uraharu]

\(\displaystyle{ 1-2 \phi \left( 3,53\right) = 1 - 2 \cdot 0,9997 = - 0,9994}\)

chyba ten wynik sie nie zgadza z odpowiedziami

[magdaskowska]

Moim zdaniem zadanie polega na obliczeniu prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P \left( 975<X<1025 \right)}\),
wówczas spełniony jest warunek zadania. Teraz standaryzujemy zmienną \(\displaystyle{ X}\), podobnie jak pokazał soku11:
\(\displaystyle{ P \left( \frac{975-1000}{\sqrt{50}}<\frac{X-1000}{\sqrt{50}}<\frac{1025-1000}{\sqrt{50}} \right)}\),
ponieważ zmienna \(\displaystyle{ \frac{X-1000}{\sqrt{50}}}\) ma standardowy rozkład normalny, możemy skorzystać z tablic.
\(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{1025-1000}{\sqrt{50}} \right) -\Phi \left( \frac{975-1000}{\sqrt{50}} \right) =0,9998-0,0002=0,9996}\). Dobrze?

[uraharu]

niestety nie, nie ma takiej odpowiedzi
a) 69,15 %
b) 38,3 %
c) 61,7 %
d) 30,85 %

[magdaskowska]

Acha, najwyraźniej 50 nie jest tu wariancją tylko odcyleniem standardowym W takim układzie standaryzując nie dzielimy przez \(\displaystyle{ \sqrt{50}}\) tylko przez \(\displaystyle{ 50}\). Ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ \Phi(0,5)-\Phi(-0,5)=0,6915-0,3085=0,383}\)
Wychodzi na odp b) , powinno być ok, pozdr