Działu dopasować lepiej nie mogłam, jednak będę wdzięczna za każdą podpowiedz.
Otóż mam zadanie o treści:
Niech \(\displaystyle{ {N(t)}_{t\geq 0}}\) będzie jednorodnym procesem Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda > 0, t_0 > 0}\) ustalona liczba rzeczywista, a \(\displaystyle{ m \in \mathbb{N}}\) liczba naturalna.
(a) Zdefiniujmy \(\displaystyle{ X(t)=N(t+t_0)-N(t)}\) dla \(\displaystyle{ t\geq 0}\). Udowdnij, że \(\displaystyle{ X(t)}\) jest procesem stacjonarnym w szerszym sensie i znajdź jego funkcję autokowariancji.
(b) Zdefiniujmy \(\displaystyle{ Z(t)=e^{\frac{2 \Pi i}{m}(U+N(t)}}\), gdzie U jest zmienną losową jednostajnie rozłożoną na zbiorze \(\displaystyle{ {1,2,...,m}}\) i niezależną od procesu N(t). Udowodnij, że \(\displaystyle{ Z(t)}\) jest zespolonym procesem stochastycznym stacjonarnym w węższym sensie i znajdź jego funkcję autokowarinacji.
Podpunkt (a) zaczęłam tak:
Aby był stacjonarny w szerszym sensie musi spełniać warunki:
(1) \(\displaystyle{ EX(t)=EX(0)=const}\)
(2) \(\displaystyle{ Cov(X(t),X(t+h))=Cov(X(0),X(h))}\)
(1) Udowodniłam
(2) Zaczęłam w taki sposób:
\(\displaystyle{ Cov(X(t),X(t+h))=E[X(t)-EX(t)][X(t+h)-EX(t+h)]=}\)
\(\displaystyle{ =E[(N(t+t_0)-N(t)-\lambdaup t_0) (N(t+h+t_0)-N(t+h)-\lambdaup t_0)]}\)
Korzystam z własności \(\displaystyle{ Cov(X,Y)=EXY-EXEY}\)
\(\displaystyle{ Cov(X(t),X(t+h))=E[(N(t+t_0)-N(t))(N(t+h+t_0)-N(t+h)]-(\lambdaup t_0)^2=}\)
Rozpatruje dwa przypadki
1. \(\displaystyle{ h \geq t_0}\)
2. \(\displaystyle{ h < t_0}\)
W 1. funkcja wychodzi 0, jednak nie wiem jak rozpisać gdy spełnia warunek 2. (gdy przyrosty nie są niezależne).
A w podpunkcie (b) kompletnie nie wiem co zrobić.
Proszę o pomoc, podpowiedzi... cokolwiek.