Stół jest podzielony na dwa równoramienne trójkąty prostokątne o boku a. Rzucamy na stół monetą o promieniu r. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie przetnie krawędzi trójkąta.
W miarę możliwości proszę o wytłumaczenie.
Czy moneta przetnie trójkąt
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Czy moneta przetnie trójkąt
Chodzi o to, zeby moneta nie przecięła przekątnej stołu, czy mamy dodatkowo uwzględnić przypadek, kiedy moneta wystaje poza stół?
Jeśli chodzi o to, by moneta nie przecięła przekątnej stołu:
Moneta przetnie przekątną stołu, jeśli jej środek "wyląduje" w odległości mniejszej od r od przekątnej. Figura, w której musiałby wylądować, jest róznicą równoległoboku o bokach długości \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2r}\) oraz o kącie \(\displaystyle{ 45^{o}}\) między tymi bokami, oraz połowy kwadratu o boku 2r (zakładając, że środek monety musi znaleźć się na stole, bo inny przypadek jest fizycznie niemożliwy). Pole tej figury wynosi \(\displaystyle{ S_f=a\sqrt{2} \cdot 2r \cdot sin45^{o}-2r^2=2ar-2r^2}\), a pole całego blatu \(\displaystyle{ S_b=a^2}\). Szukane prawdopodobieństwo jest zatem równe \(\displaystyle{ 1-\frac{S_f}{S_b}=1-\frac{2ar-2r^2}{a^2}=\frac{(a-r)^2+r^2}{a^2}}\).
Jeśli chodzi o to, by moneta nie przecięła przekątnej stołu:
Moneta przetnie przekątną stołu, jeśli jej środek "wyląduje" w odległości mniejszej od r od przekątnej. Figura, w której musiałby wylądować, jest róznicą równoległoboku o bokach długości \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2r}\) oraz o kącie \(\displaystyle{ 45^{o}}\) między tymi bokami, oraz połowy kwadratu o boku 2r (zakładając, że środek monety musi znaleźć się na stole, bo inny przypadek jest fizycznie niemożliwy). Pole tej figury wynosi \(\displaystyle{ S_f=a\sqrt{2} \cdot 2r \cdot sin45^{o}-2r^2=2ar-2r^2}\), a pole całego blatu \(\displaystyle{ S_b=a^2}\). Szukane prawdopodobieństwo jest zatem równe \(\displaystyle{ 1-\frac{S_f}{S_b}=1-\frac{2ar-2r^2}{a^2}=\frac{(a-r)^2+r^2}{a^2}}\).