Most Browna

[magdaskowska]

Oznaczmy proces Wienera za pomocą:
\(\displaystyle{ \{W_t:t\in [0,1]\}}\);
następnie tworzymy zmienną losową zwaną mostem Browna:
\(\displaystyle{ (1)W_t^o=W_t-tW_t}\).
I teraz problem: dlaczego dla \(\displaystyle{ s \le t}\)
\(\displaystyle{ (2)\mathrm{E}\{W_t^oW_s^o\}=s(1-t)}\)?
Sprawdzałam, podstawiając \(\displaystyle{ W_t^o}\) i \(\displaystyle{ W_s^o}\) z wzoru \(\displaystyle{ (1)}\), wymnożyłam a potem skorzystałam z tego, że
\(\displaystyle{ \mathrm{E}\{W_sW_t\}=s,\; s \le t}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathrm{E}\{W_t\}=0}\),
ale wychodzi co innego. Jak to pokazać i czy rzeczywiście \(\displaystyle{ (2)}\) ma tak wyglądać?

[Emiel Regis]

Ponieważ nie tak wygląda most Browna. Definiuje się go następująco:

\(\displaystyle{ X_t = W_t-t W_1}\)

Kowariancję procesu Wienera można napisac ogolniej:

\(\displaystyle{ Cov(X_t, X_s) = E(W_t W_s) = min(t,s)}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ E(X_t X_s) = E(W_t - t W_1)(W_s - s W_1) = \\ \\
= E(W_t W_s)-sE(W_tW_1)-t(W_1W_s)+stE(W_1W_1) =\\ \\
= min(t,s)-st-st+st=min(t,s)-st}\)

Co przy założeniu, że s mniejsze lub równe t daje proponowany przez Ciebie wynik.

[magdaskowska]

Przyjrzałam się dokładniej kserówkom i faktycznie była tam jedynka a nie \(\displaystyle{ t}\) .
Teraz już jest jasne, dzięki za pomoc.
Pozdrawiam

[lukasz88]

A czy ktoś mógłby mi pomóc narysować przykładową trajektorię? Jakoś tego nie wiedzę...