Oznaczmy proces Wienera za pomocą:
\(\displaystyle{ \{W_t:t\in [0,1]\}}\);
następnie tworzymy zmienną losową zwaną mostem Browna:
\(\displaystyle{ (1)W_t^o=W_t-tW_t}\).
I teraz problem: dlaczego dla \(\displaystyle{ s \le t}\)
\(\displaystyle{ (2)\mathrm{E}\{W_t^oW_s^o\}=s(1-t)}\)?
Sprawdzałam, podstawiając \(\displaystyle{ W_t^o}\) i \(\displaystyle{ W_s^o}\) z wzoru \(\displaystyle{ (1)}\), wymnożyłam a potem skorzystałam z tego, że
\(\displaystyle{ \mathrm{E}\{W_sW_t\}=s,\; s \le t}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathrm{E}\{W_t\}=0}\),
ale wychodzi co innego. Jak to pokazać i czy rzeczywiście \(\displaystyle{ (2)}\) ma tak wyglądać?
Most Browna
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 01:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Most Browna
Ponieważ nie tak wygląda most Browna. Definiuje się go następująco:
\(\displaystyle{ X_t = W_t-t W_1}\)
Kowariancję procesu Wienera można napisac ogolniej:
\(\displaystyle{ Cov(X_t, X_s) = E(W_t W_s) = min(t,s)}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ E(X_t X_s) = E(W_t - t W_1)(W_s - s W_1) = \\ \\
= E(W_t W_s)-sE(W_tW_1)-t(W_1W_s)+stE(W_1W_1) =\\ \\
= min(t,s)-st-st+st=min(t,s)-st}\)
Co przy założeniu, że s mniejsze lub równe t daje proponowany przez Ciebie wynik.
\(\displaystyle{ X_t = W_t-t W_1}\)
Kowariancję procesu Wienera można napisac ogolniej:
\(\displaystyle{ Cov(X_t, X_s) = E(W_t W_s) = min(t,s)}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ E(X_t X_s) = E(W_t - t W_1)(W_s - s W_1) = \\ \\
= E(W_t W_s)-sE(W_tW_1)-t(W_1W_s)+stE(W_1W_1) =\\ \\
= min(t,s)-st-st+st=min(t,s)-st}\)
Co przy założeniu, że s mniejsze lub równe t daje proponowany przez Ciebie wynik.
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 01:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 4 razy
Most Browna
Przyjrzałam się dokładniej kserówkom i faktycznie była tam jedynka a nie \(\displaystyle{ t}\) .
Teraz już jest jasne, dzięki za pomoc.
Pozdrawiam
Teraz już jest jasne, dzięki za pomoc.
Pozdrawiam