na egzaminie

[kermitex]

na egzaminie student losuje 4 pytania z przygotowanego zestawu 45 pytan. jesli odpowie na 4 pytanie otrzyma ocene bardzo dobra, jesli na 3 pytania - dobra, na 2 - dostateczna. jakie jest prawdopobienstwo, ze:
a) otrzyma ocene bardzo dobra (odp: 87/473)?
b) otrzyma ocene co najmniej dostateczna (odp: 116/129)?
jesli umie odpowiedziec na 30 pytan z tego zestawu? Jak dojsc do tych odpowiedzi? POMOCY!

[tomekbobek]

Omega \(\displaystyle{ {45\choose4}}\) = 148995 ( Bo student losuje 4 pytania z zestawu 45)
a) student umie odpowiedziec na 30 pytan, nie umie na 15 , wiec aby dostac 5 musi wylosowac 4 pytania z tych na ktore zna odpoweidzi (czyli losuje 4 z 30), oraz zadnej z tego czego nie umie- 0 z 15
moc A= \(\displaystyle{ {30\choose 4}}\) = 27405
P(A)= 27405/148995= 87/473

b) zeby dostac ocene conajmniej dostateczna uczen musi odpowiedziec na conajmniej 2 pytanie, ale CONAJMNIEJ czyli moze odpowiedziec na 3 i dostac 4 , albo na 4 i dostac 5
\(\displaystyle{ {30\choose 2}}\) * \(\displaystyle{ {15\choose 2}}\) - odpowiedz na 3 . na dwa pytania odpowie na dwa nie
\(\displaystyle{ {30\choose 3}}\)*\(\displaystyle{ {15\choose 1}}\) - 4 - odpowie na 3, nie odpowie nad 1
moc A= \(\displaystyle{ {30\choose 2}}\) *\(\displaystyle{ {15\choose 2} + {30\choose 3}}\)*\(\displaystyle{ {15\choose 1}+ {30\choose 4}}\) = 133980
P(A)= 133980/ 148995= 116/129

Pozdrawiam

[pandyzio]

Dlaczego w pdpkt. b) nie można tego policzyć jako:
\(\displaystyle{ |B|= {30 \choose 2} {43 \choose 2}}\)?
Wiem, że jest źle, bo wychodzi więcej niż możliwości wylosowania, ale nie widzę, czemu to jest błędne - najpierw losujemy 2 pytania z tych na które student potrafi odpowiedzieć, a następnie z reszty kolejne 2 (student może ale nie musi na niego umieć odpowiedzieć - i tak dostanie ocenę dostateczną, bo 2 pytania na pewno zna).
Wytłumaczy mi ktoś błąd rozumowania?

[mat_61]

W ten sposób liczysz wielokrotnie takie same losowania jako różne. Załóżmy, że pytania na które znasz odpowiedzi mają numery od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 30}\) a te na które nie znasz numery od \(\displaystyle{ 31}\) do \(\displaystyle{ 45}\). Wg Twojej propozycji możesz wybrać np. taki zestaw:

I losowanie \(\displaystyle{ \left\{ 1, 15\right\}}\)
II losowanie \(\displaystyle{ \left\{ 3, 41\right\}}\)

Albo taki:

I losowanie \(\displaystyle{ \left\{ 1, 3\right\}}\)
II losowanie \(\displaystyle{ \left\{ 15, 41\right\}}\)

Albo taki:

I losowanie \(\displaystyle{ \left\{ 3, 15\right\}}\)
II losowanie \(\displaystyle{ \left\{ 1, 41\right\}}\)

Widzisz więc, że taki sam zestaw pytań \(\displaystyle{ \left\{ 1, 3, 15, 41\right\}}\) jest przez Ciebie liczony wielokrotnie.

Jest to spowodowane tym, że zbiory z których proponujesz kolejne losowania nie są rozłączne. Na początek "dzielisz" wszystkie pytania na dwa rozłączne podzbiory. Z jednego z nich losujesz dwa elementy, a następnie - przed kolejnym losowaniem - elementy tego zbioru łączysz z elementami drugiego zbioru. Masz więc możliwość wylosowania zestawu tych samych czterech pytań pomimo, że wyniki każdego z tych dwóch losowań są różne.