Matematyka.pl

Witam! Zaciekle rozwiązuje zadania z prawdopodobieństwa (ok. 30), ale do rzeczy. Otóż mam dwa zadania (rodzaj, problem zawarty w nich jest wydaje mi się podobny), z którymi nie mogę sobie dać rady. Prosiłbym o pomoc w ich rozwiązaniu i jeśli nie problem o mały komentarz co do jego rozwiązania.


Zad. 1 Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co 12 minut. Zakładamy, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 5 minuty.

Zad. 2 Zapałkę o długości 5 cm złamano w dowolnym punkcie. Zakładamy, że rozkład prawdopodobieństwa długości krótszej części zapałki jest jednostajny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że długość krótszej części zapałki nie przekracza 0,5 cm.


Pozdrawiam serdecznie.

Pierwsze możesz zrobić intuicyjnie, osoba przychodzi na przystanek w losowej chwili nalezacej do przedzialu \(\displaystyle{ [0,12]}\), wiec prawd. ze bedzie czekal co najmniej 5 minut wynosi \(\displaystyle{ \frac{7}{12}}\) (przyjdzie w przedziale \(\displaystyle{ [0,7]}\)).

Tak naprawdę to ta intuicja jest jednocześnie formalnym rozwiązaniem przy użyciu prawdopodobieństwa geometrycznego. Analogicznie rozwiązujemy drugie zadanie - traktujemy je jako losowy wybór punktu z odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0,5 \right]}\), a nasze zdarzenie to trafienie w zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2} \right] \cup \left[ 4\frac{1}{2}, 5 \right]}\), więc szukane prawdopodobieństwo to iloraz miar tych zbiorów, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

Q.

Qń, o ile pierwsze zadanie zrobiłem całkiem bez użycia zmiennych losowych to w drugim chyba już wypada uzasadnić takie natychmiastowe użycie prawdopodobienstwa geometrycznego (i dlaczego w ten sposob). Piszesz, ze:

Qń pisze:Analogicznie rozwiązujemy drugie zadanie - traktujemy je jako losowy wybór punktu z odcinka [0,5]

A w zadaniu jest:

SeeK666 pisze:Zakładamy, że rozkład prawdopodobieństwa długości krótszej części zapałki jest jednostajny.

Równoważność tego [o ile jest] wypada choć krótko skomentować...

Moje próby formalizacji wyglądają tak:

\(\displaystyle{ X [0,5]}\) - punkt złamania zapałki

\(\displaystyle{ Y = min(X, 5-X) \mathcal{U} ft [0, 2\frac{1}{2} \right ]}\) - długość krótszej czesci zapałki (to wlasnie wynika z tresci)

Jeszcze inaczej zapisując:

\(\displaystyle{ Y|X ft [0, 2\frac{1}{2} \right] \ \ \mathcal{U} ft [0, 2\frac{1}{2} \right ]}\)

\(\displaystyle{ Y|X ft [2\frac{1}{2},5 \right] \ \ \mathcal{U} ft [0, 2\frac{1}{2} \right ]}\)

i teraz:

\(\displaystyle{ P(Y 0,5) = P ft(Y 0.5 | X ft [0, 2\frac{1}{2} \right]\right) P ft(X ft [0, 2\frac{1}{2} \right]\right) +\\ \\
P ft(Y 0.5 | X ft [2\frac{1}{2},5 \right]\right) P ft(X ft [2\frac{1}{2},5 \right]\right) = \frac{1}{5} \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \frac{1}{2} = \frac{1}{5}}\)

Ale w sumie to mam wątpliwosci ciagle, bo przeciez to iz

\(\displaystyle{ P ft(X ft [2\frac{1}{2},5 \right]\right) = \frac{1}{2}}\)

to to też pochodzi o skojarzenia, że zapałke łamiemy w losowym punkcie a tego nie wiemy...

Nie doczytałem co ma w drugim rozkład jednostajny, ale w dalszym ciągu to proste zadanie, w którym intuicja i formalizm to niemal to samo. Krótsza część może mieć długość z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,2\frac{1}{2} \right]}\), a ponieważ jej długość ma rozkład jednostajny, to trafienie w dowolny punkt tego przedziału ma takie samo prawdopodobieństwo. A "pasujące" punkty z tego przedziału to \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2} \right]}\) - iloraz miar tych przedziałów znów więc jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

Q.