Prawdopodobieństwo - jednostajność

[SeeK666]

Witam! Zaciekle rozwiązuje zadania z prawdopodobieństwa (ok. 30), ale do rzeczy. Otóż mam dwa zadania (rodzaj, problem zawarty w nich jest wydaje mi się podobny), z którymi nie mogę sobie dać rady. Prosiłbym o pomoc w ich rozwiązaniu i jeśli nie problem o mały komentarz co do jego rozwiązania.


Zad. 1 Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co 12 minut. Zakładamy, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 5 minuty.

Zad. 2 Zapałkę o długości 5 cm złamano w dowolnym punkcie. Zakładamy, że rozkład prawdopodobieństwa długości krótszej części zapałki jest jednostajny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że długość krótszej części zapałki nie przekracza 0,5 cm.


Pozdrawiam serdecznie.

[Emiel Regis]

Pierwsze możesz zrobić intuicyjnie, osoba przychodzi na przystanek w losowej chwili nalezacej do przedzialu \(\displaystyle{ [0,12]}\), wiec prawd. ze bedzie czekal co najmniej 5 minut wynosi \(\displaystyle{ \frac{7}{12}}\) (przyjdzie w przedziale \(\displaystyle{ [0,7]}\)).

[Qń]

Tak naprawdę to ta intuicja jest jednocześnie formalnym rozwiązaniem przy użyciu prawdopodobieństwa geometrycznego. Analogicznie rozwiązujemy drugie zadanie - traktujemy je jako losowy wybór punktu z odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0,5 \right]}\), a nasze zdarzenie to trafienie w zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2} \right] \cup \left[ 4\frac{1}{2}, 5 \right]}\), więc szukane prawdopodobieństwo to iloraz miar tych zbiorów, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

Q.

[Emiel Regis]

Qń, o ile pierwsze zadanie zrobiłem całkiem bez użycia zmiennych losowych to w drugim chyba już wypada uzasadnić takie natychmiastowe użycie prawdopodobienstwa geometrycznego (i dlaczego w ten sposob). Piszesz, ze:

Analogicznie rozwiązujemy drugie zadanie - traktujemy je jako losowy wybór punktu z odcinka [0,5]

A w zadaniu jest:

Zakładamy, że rozkład prawdopodobieństwa długości krótszej części zapałki jest jednostajny.

Równoważność tego [o ile jest] wypada choć krótko skomentować...

Moje próby formalizacji wyglądają tak:

\(\displaystyle{ X [0,5]}\) - punkt złamania zapałki

\(\displaystyle{ Y = min(X, 5-X) \mathcal{U} ft [0, 2\frac{1}{2} \right ]}\) - długość krótszej czesci zapałki (to wlasnie wynika z tresci)

Jeszcze inaczej zapisując:

\(\displaystyle{ Y|X ft [0, 2\frac{1}{2} \right] \ \ \mathcal{U} ft [0, 2\frac{1}{2} \right ]}\)

\(\displaystyle{ Y|X ft [2\frac{1}{2},5 \right] \ \ \mathcal{U} ft [0, 2\frac{1}{2} \right ]}\)

i teraz:

\(\displaystyle{ P(Y 0,5) = P ft(Y 0.5 | X ft [0, 2\frac{1}{2} \right]\right) P ft(X ft [0, 2\frac{1}{2} \right]\right) +\\ \\
P ft(Y 0.5 | X ft [2\frac{1}{2},5 \right]\right) P ft(X ft [2\frac{1}{2},5 \right]\right) = \frac{1}{5} \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \frac{1}{2} = \frac{1}{5}}\)

Ale w sumie to mam wątpliwosci ciagle, bo przeciez to iz

\(\displaystyle{ P ft(X ft [2\frac{1}{2},5 \right]\right) = \frac{1}{2}}\)

to to też pochodzi o skojarzenia, że zapałke łamiemy w losowym punkcie a tego nie wiemy...

[Qń]

Nie doczytałem co ma w drugim rozkład jednostajny, ale w dalszym ciągu to proste zadanie, w którym intuicja i formalizm to niemal to samo. Krótsza część może mieć długość z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,2\frac{1}{2} \right]}\), a ponieważ jej długość ma rozkład jednostajny, to trafienie w dowolny punkt tego przedziału ma takie samo prawdopodobieństwo. A "pasujące" punkty z tego przedziału to \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2} \right]}\) - iloraz miar tych przedziałów znów więc jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

Q.