Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 1 raz
Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Cześć, mam zagwozdkę od kilku dni, próbując wyliczyć prawdopodobieństwo, które poniżej postaram się opisać.
Przyjmijmy, że mamy 4 zdarzenia z danym prawdopodobieństwem:
A - 70%
B - 20%
C - 40%
D - 80%
W jaki sposób mogę obliczyć, że:
a) wydarzy się jedno lub więcej
b) wydarzy się dwa lub więcej
c) wydarzą się dokładnie dwa
Prawdopodobieństwo na matematyce już ładnych parę lat za mną, i niestety moje możliwości nie pozwalają mi tego rozwikłać Będę wdzięczny za naprowadzenie na prawidłowy tok myślenia.
Przyjmijmy, że mamy 4 zdarzenia z danym prawdopodobieństwem:
A - 70%
B - 20%
C - 40%
D - 80%
W jaki sposób mogę obliczyć, że:
a) wydarzy się jedno lub więcej
b) wydarzy się dwa lub więcej
c) wydarzą się dokładnie dwa
Prawdopodobieństwo na matematyce już ładnych parę lat za mną, i niestety moje możliwości nie pozwalają mi tego rozwikłać Będę wdzięczny za naprowadzenie na prawidłowy tok myślenia.
- Matematykini
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
a) Według mnie tutaj najprościej wyliczyć przez zdarzenie przeciwne. Jakie by ono było i jak wyliczyć jego prawdopodobieństwo?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 1 raz
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Faktycznie, dla ułatwienia opisania tego problemu zmniejszyłem liczbę zdarzeń, opcję a) można wyliczyć właśnie z tego. Schody natomiast pojawiają się w przypadku minimum dwóch i minimum trzech zdarzeń, a także przy dokładnej liczbie. Kompletnie nie wiem z jakiej strony to ugryźć
- Matematykini
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
To weźmy najpierw dokładnie dwa zdarzenia.
Będziemy korzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Jakie mamy opcje do wyboru, żeby były dokładnie 2 zdarzenia? Ile jest takich opcji?
Będziemy korzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Jakie mamy opcje do wyboru, żeby były dokładnie 2 zdarzenia? Ile jest takich opcji?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 1 raz
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Jeśli dobrze rozumiem, to będzie 6 opcji:
A i B - 14%
A i C - 28%
A i D - 56%
B i C - 8%
B i D - 16%
C i D - 32%
Lecz nie zakładają one opcji, że zdarzą się jednocześnie pozostałe ze zdarzeń nieopisane w parach, więc nie do końca mogę to połączyć z ostatecznym rozwiązaniem.
A i B - 14%
A i C - 28%
A i D - 56%
B i C - 8%
B i D - 16%
C i D - 32%
Lecz nie zakładają one opcji, że zdarzą się jednocześnie pozostałe ze zdarzeń nieopisane w parach, więc nie do końca mogę to połączyć z ostatecznym rozwiązaniem.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
NA podstawie danych z zadania nic nie można powiedzieć o szukanych prawdopodobieństwach
Oblicz je sobie w takich przypadkach
Losujemy jedną liczbę naturalną z przedziału `1-10`.
Niech `A` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7`
Niech `B` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-2`
Niech `C` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-4`
Niech `D` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-8`
A teraz to samo, tylko
Niech `A` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7`
Niech `B` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `8-9`
Niech `C` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `6-9`
Niech `D` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7` lub liczbę `10`
Miłej zabawy
Oblicz je sobie w takich przypadkach
Losujemy jedną liczbę naturalną z przedziału `1-10`.
Niech `A` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7`
Niech `B` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-2`
Niech `C` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-4`
Niech `D` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-8`
A teraz to samo, tylko
Niech `A` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7`
Niech `B` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `8-9`
Niech `C` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `6-9`
Niech `D` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7` lub liczbę `10`
Miłej zabawy
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 1 raz
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Może w taki sposób opiszę lepiej co mam na myśli:
Mamy 4 kosze z białymi i czarnymi kulami:
1) 7 białych i 3 czarne
2) 2 białe i 8 czarnych
3) 4 białe i 6 czarnych
4) 8 białych i 2 czarne
I losuję z każdego kosza po jednej kuli - chciałbym obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) minimum dwóch białych kul
b) dokładnie dwóch białych kul
Mamy 4 kosze z białymi i czarnymi kulami:
1) 7 białych i 3 czarne
2) 2 białe i 8 czarnych
3) 4 białe i 6 czarnych
4) 8 białych i 2 czarne
I losuję z każdego kosza po jednej kuli - chciałbym obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) minimum dwóch białych kul
b) dokładnie dwóch białych kul
- Matematykini
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Dziękuję za więcej danychpatryk922 pisze: ↑11 sie 2022, o 18:16 Może w taki sposób opiszę lepiej co mam na myśli:
Mamy 4 kosze z białymi i czarnymi kulami:
1) 7 białych i 3 czarne
2) 2 białe i 8 czarnych
3) 4 białe i 6 czarnych
4) 8 białych i 2 czarne
I losuję z każdego kosza po jednej kuli - chciałbym obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:
a) minimum dwóch białych kul
b) dokładnie dwóch białych kul
To jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul białych z 1 i 2 kosza? Masz rację, że nie można pominąć koszy 3 i 4. Co w nich musi być?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 1 raz
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
To tak jak wyżej:
1 i 2 - 14%
1 i 3 - 28%
1 i 4 - 56%
2 i 3 - 8%
2 i 4 - 16%
3 i 4 - 32%
Z tym, że nie czuję, aby coś mi to dało - chyba, że wylosowanie dokładnie dwóch byłoby jakąś średnią wszystkich możliwych kombinacji? Jestem w totalnej kropce co do rozwiązania punktów a) i b).
Poza tym zależy mi też na dojściu do formuły, dzięki której mógłbym wyliczać prawdopodobieństwo przy 10, czy 20 takich "koszach".
1 i 2 - 14%
1 i 3 - 28%
1 i 4 - 56%
2 i 3 - 8%
2 i 4 - 16%
3 i 4 - 32%
Z tym, że nie czuję, aby coś mi to dało - chyba, że wylosowanie dokładnie dwóch byłoby jakąś średnią wszystkich możliwych kombinacji? Jestem w totalnej kropce co do rozwiązania punktów a) i b).
Poza tym zależy mi też na dojściu do formuły, dzięki której mógłbym wyliczać prawdopodobieństwo przy 10, czy 20 takich "koszach".
- Matematykini
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 2 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Właśnie nie są takie prawdopodobieństwa. Wtedy w pozostałych dwóch koszach mogłoby być cokolwiek, a mają być kule czarne (bo białe mają być dokładnie 2).
Zacznę bardziej formalnie
Niech nasze zdarzenie "mamy dokładnie 2 białe kule" to będzie \(\displaystyle{ X}\)
Faktycznie jest tu taka jakby średnia ważona, a bierze się to z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
czyli mamy
$$P(X) = P(X|AB)\cdot P(AB) + \ldots + P(X|CD)\cdot P(CD)$$
Każde \(\displaystyle{ P(AB), \ldots P(CD)}\) jest takie samo i wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
Obliczę przykładowo \(\displaystyle{ P(X|AB)}\). Prawdopodobieństwo, że wylosujemy białą w A to 0,7, że białą w B to 0,2, że czarną w C to 0,6 i czarną w D to 0,2 i dopiero to wszystko wymnażamy.
I podobnie z resztą przypadków.
Czy coś jeszcze lepiej wyjaśnić?
Zacznę bardziej formalnie
Niech nasze zdarzenie "mamy dokładnie 2 białe kule" to będzie \(\displaystyle{ X}\)
Faktycznie jest tu taka jakby średnia ważona, a bierze się to z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
czyli mamy
$$P(X) = P(X|AB)\cdot P(AB) + \ldots + P(X|CD)\cdot P(CD)$$
Każde \(\displaystyle{ P(AB), \ldots P(CD)}\) jest takie samo i wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
Obliczę przykładowo \(\displaystyle{ P(X|AB)}\). Prawdopodobieństwo, że wylosujemy białą w A to 0,7, że białą w B to 0,2, że czarną w C to 0,6 i czarną w D to 0,2 i dopiero to wszystko wymnażamy.
I podobnie z resztą przypadków.
Czy coś jeszcze lepiej wyjaśnić?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw
Doświadczenie losowe polega na losowaniu po kolei z każdego kosza: \(\displaystyle{ k1, k2 , k3 , k4 }\) jednej kuli.
Zakładamy, że losowanie kuli z każdego kosza jest jednakowo możliwe.
\(\displaystyle{ k_{1}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k1} = \{ b, c\}, \ \ P_{k1}(b) = \frac{7}{10}, \ \ P_{k1}(c)= \frac{3}{10},}\)
\(\displaystyle{ k_{2}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k2} = \{ b, c\}, \ \ P_{k2}(b) = \frac{2}{10}, \ \ P_{k2}(c)= \frac{8}{10},}\)
\(\displaystyle{ k_{3}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k3} = \{ b, c\}, \ \ P_{k3}(b) = \frac{4}{10}, \ \ P_{k3}(c)= \frac{6}{10},}\)
\(\displaystyle{ k_{4}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k4} = \{ b, c\}, \ \ P_{k4}(b) = \frac{8}{10}, \ \ P_{k4}(c)= \frac{2}{10}.}\)
Model łącznego losowania kul z czterech koszy:
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{k1}\times \Omega_{k2} \times \Omega_{k3}\times \Omega_{k4}.}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = (k1,k2,k3,k4): k_{i}\in \{b, c\}, i =1,2,3,4 \} }\)
a)
Zdarzenie " wylosowanie co najmniej dwóch kul białych \(\displaystyle{ \{ \geq 2b\}" }\) składa się z sumy trzech zdarzeń: "wylosowanie dokładnie dwóch, lub trzech lub czterech kul białych.
\(\displaystyle{ P(\{\geq 2b\}) = P(\{2b\}) + P(\{3b\}) + P(\{4b\}).}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P(\{2b\}) = P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(c) + P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(c) + P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(b) + }\)
\(\displaystyle{ + P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(b) +P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(c)+P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(b). }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{2b\}) = \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{2}{10} + \frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{10} +\frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{8}{10} + \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{8}{10}+}\)
\(\displaystyle{ +\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{8}{10} =
\frac{168}{10000} + \frac{448}{10000}+ \frac{2728}{10000}+ \frac{288}{10000}+ \frac{48}{10000}+\frac{768}{10000} =\frac{4488}{10000}=0,4488 }\)
Podobnie obliczamy wartości pozostałych prawdopodobieństw \(\displaystyle{ P(\{3b\}), \ \ P(\{4b\}).}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia " wylosowanie co najmniej dwóch kul białych" możemy zastąpić obliczeniem prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego " wylosowania czterech kul czarnych lub dokładnie jednej kuli białej".
Interpretujemy w sposób częstościowy obliczone wartości prawdopodobieństw:
Na przykład należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 45\% }\) ogólnej liczby wyników losowania po jednej kuli z czterech koszy, otrzymamy dokładnie dwie kule białe.
"Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw" to masło maślane.
Prawdopodobieństwo różnych zdarzeń.
Zakładamy, że losowanie kuli z każdego kosza jest jednakowo możliwe.
\(\displaystyle{ k_{1}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k1} = \{ b, c\}, \ \ P_{k1}(b) = \frac{7}{10}, \ \ P_{k1}(c)= \frac{3}{10},}\)
\(\displaystyle{ k_{2}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k2} = \{ b, c\}, \ \ P_{k2}(b) = \frac{2}{10}, \ \ P_{k2}(c)= \frac{8}{10},}\)
\(\displaystyle{ k_{3}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k3} = \{ b, c\}, \ \ P_{k3}(b) = \frac{4}{10}, \ \ P_{k3}(c)= \frac{6}{10},}\)
\(\displaystyle{ k_{4}: }\)
\(\displaystyle{ \Omega_{k4} = \{ b, c\}, \ \ P_{k4}(b) = \frac{8}{10}, \ \ P_{k4}(c)= \frac{2}{10}.}\)
Model łącznego losowania kul z czterech koszy:
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{k1}\times \Omega_{k2} \times \Omega_{k3}\times \Omega_{k4}.}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = (k1,k2,k3,k4): k_{i}\in \{b, c\}, i =1,2,3,4 \} }\)
a)
Zdarzenie " wylosowanie co najmniej dwóch kul białych \(\displaystyle{ \{ \geq 2b\}" }\) składa się z sumy trzech zdarzeń: "wylosowanie dokładnie dwóch, lub trzech lub czterech kul białych.
\(\displaystyle{ P(\{\geq 2b\}) = P(\{2b\}) + P(\{3b\}) + P(\{4b\}).}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P(\{2b\}) = P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(c) + P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(c) + P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(b) + }\)
\(\displaystyle{ + P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(b) +P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(c)+P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(b). }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{2b\}) = \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{2}{10} + \frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{10} +\frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{8}{10} + \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{8}{10}+}\)
\(\displaystyle{ +\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{8}{10} =
\frac{168}{10000} + \frac{448}{10000}+ \frac{2728}{10000}+ \frac{288}{10000}+ \frac{48}{10000}+\frac{768}{10000} =\frac{4488}{10000}=0,4488 }\)
Podobnie obliczamy wartości pozostałych prawdopodobieństw \(\displaystyle{ P(\{3b\}), \ \ P(\{4b\}).}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia " wylosowanie co najmniej dwóch kul białych" możemy zastąpić obliczeniem prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego " wylosowania czterech kul czarnych lub dokładnie jednej kuli białej".
Interpretujemy w sposób częstościowy obliczone wartości prawdopodobieństw:
Na przykład należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 45\% }\) ogólnej liczby wyników losowania po jednej kuli z czterech koszy, otrzymamy dokładnie dwie kule białe.
"Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw" to masło maślane.
Prawdopodobieństwo różnych zdarzeń.