Kombinacja - zadanie

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7265
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 » 5 sie 2022, o 09:44

Nie jestem już egzaminatorem maturalnym. Kiedyś nim byłem i aby uzyskać pełną liczbę punktów za zadanie z rachunku prawdopodobieństwa należało podać zbiór \(\displaystyle{ \Omega , P }\) i obliczyć \(\displaystyle{ A.}\)

Nie chcę oceniać poziomu nauczania rachunku prawdopodobieństwa, w szkole i na studiach, bo nie jestem do tego upoważniony.

W rozwiązaniach zadań powinno starannie oddzielać się elementy teoretyczne od empirycznych - nie mieszać ich. Pomieszanie prowadzi do zniechęcenia do matematyki lub do stwierdzenia, że rachunek prawdopodobieństwa to jakaś gorsza część matematyki w której wszystko jest mniej ścisłe i mniej pewne.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: a4karo » 5 sie 2022, o 10:38

Wybacz, Janusz, ale w tym wątku już tak wiele namieszałeś przy opisie przestrzeni probabilistycznej, że powinieneś zmienić to z mentorskiego na bardziej pokorny.
Twoje rozwiązanie z pewnością nie zachęci do matematyki, za to z pewnością upewni ucznia, że rachunek prawdopodobieństwa to jakaś gorsza część matematyki - nie dlatego, że mniej ścisłe, lecz dlatego, że przeformalizowane do tego stopnia, że nawet znawcy (to o Tobie) sobie z nim nie radzą

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7265
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 » 5 sie 2022, o 11:17

Namieszałem, ale się poprawiłem. Czy ty nie robisz błędów w prostych rachunkach, żeby szybko mi udowodnić że ja mam błąd?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: a4karo » 5 sie 2022, o 12:36

No to zobaczmy to rozwiązanie.

Zakładam, że `L_i` to buty lewe, a `P_i` prawe, bo bez tego wogóle nie wiadomo o co chodzi w tym rozumowaniu.
janusz47 pisze:
2 sie 2022, o 20:45
Rozwiązując zadania z rachunku prawdopodobieństwa, powinniśmy zwrócić uwagę na:

- opis doświadczenia losowego, które modelujemy;

- określenie zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) wszystkich zdarzeń elementarrnych;

- określenie klasy \(\displaystyle{ \mathcal{M} }\) wszystkich zdarzeń probabilizowalnych;

- określenie rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)

Uporządkowaną trójkę: \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{M}, P) }\) nazywamy modelem probabilistycznym (matematycznym) doświadczenia
losowego.

Powróćmy do doświadczenia losowego polegającego na" wyjmowaniu z pudełka dwóch butów, w którym jest pięć par butów.

Załóżmy, że dziecko wyjmuje jednocześnie dwa buty.

Mamy doczynienia z jednoetapowym doświadczeniem losowym?

Zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) w tym doświadczeniu możemy określać w różny sposób np:

\(\displaystyle{ \Omega =\{\omega: \omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i}, P_{j} \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}, P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}, \ \ L_{ i} \neq P_{j}, \ \ i>j \ \ i, j \in \{1,2,3,4,5\} \} }\)
Nie jest trudno wypisać wszystkie zdarzenia z tego zbioru:
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{\{L_2,P_1\},\{L_3,P_1\},\{L_4,P_1\},\{L_5,P_1\},\{L_3,P_2\},\{L_4,P_2\},\{L_5,P_2\},\{L_4,P_3\},\{L_5,P_3\},\{L_5,P_4\},\right\}}\)

Jak widać ten zbiór ma jedynie `10` elementów.

Na dodatek nijak nie pasuje do treści zadania, bo w zadaniu losujemy dwa buty, a nie lewy i prawy.
Ponadto przy takim opisie przestrzeni zdarzeń elementarnych nie może się zdarzyć, że wylosujemy buty z tej samej pary, bo przypadki `\{L_i,P_i\}` zostały pominięte.


\(\displaystyle{ \mathcal{M} = 2^{\Omega} }\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym. Są to wszystkie zdarzenia probabilizowalne (zdarzenia, którym można przypisać prawdopodobieństwo).

Załóżmy, że każdy z butów ma taką samą możliwość wyciągnięcia z pudełka (nie ma butów uprzywilejowanych),
tzn. rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\) jest równomiernym rozkładem dyskretnym.

\(\displaystyle{ P(\{L_{i},P_{j}\}) = \frac{1}{{10\choose 2}}.}\)
No właśnie, że nie, z powodów opisanych wyżej

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie -"buty pochodzą z jednej pary"

\(\displaystyle{ A = \{\omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i} \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} , P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}, \ \ L_{ 1} =P_{1}, \ \ L_{2}=P_{2},\ \ L{3}=P_{3}, \ \ L_{4}=P_{4},\ \ L_{5}=P_{5}\} }\)
Nie, bo tych zdarzeń nie ma w `\Omega`



Możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 11,1\% }\) ogólnej lczby losowań dwóch butów z pudełka zawierającego pięć par butów - otrzymamy dokładnie jedną parę.

Rozwiązanie za pomocą zdarzenia przeciwnego.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \overline{A} }\) zdarzenie przeciwne " buty nie są od pary"

Wówczas

\(\displaystyle{ \overline{A} = \{\omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i} , P(j) \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} \vee L_{i}, P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\} \vee \ \ L_{ i} \in\{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} \wedge P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\} \wedge L_{j}\neq P_{j}\} }\)
Zbiory \(\displaystyle{ \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i} , P_j \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\}\}}\) i \(\displaystyle{ \{\{L_{i}, P_{j}\}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}\} }\)
są puste, bo nie ma takiej pary, że jeden jest prawy, drugi lewy i jednocześnie oba sa prawe lub oba sa lewe

\(\displaystyle{ P(\overline{A}) = \frac{40}{45}. }\)
Więc ten rachunek jest do bani.


Gdzieś to poprawiłeś???

Dodano po 6 godzinach 41 minutach 58 sekundach:
3a174ad9764fefcb pisze:
4 sie 2022, o 10:28
Myślę że chodzi o coś takiego:
\(\displaystyle{ A = \{f\in\Omega:\,f(1) \equiv f(2) \pmod5 \} }\)
Do mnie opis słowny dużo lepiej przemawia.

O ile buty zostały ponumerowane tak, że 1 i 6, 2 i 7, etc. są z tej samej pary. Ale autor słowem o tym nie wspomina. Na wzorcówkę takie coś z pewnością się nie nadaje.

ODPOWIEDZ