Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Karka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 24 lis 2021, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 6 razy

Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: Karka20 » 3 lip 2022, o 16:24

Dwóch graczy: Adam i Bob, strzelają naprzemiennie i niezależnie od siebie do małego celu. Każdy strzał kosztuje \(\displaystyle{ 1}\)zł. Zaczyna się od Adama, który trafia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\). Bob uderza z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\). Gra kończy się, gdy jeden z nich trafi - wtedy otrzymuje nagrodę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Adam zdobędzie tę nagrodę.
Oblicz przewidywaną kwotę pieniędzy, jaką gracze wydadzą na tę grę. Bardziej formalnie, jeśli X oznacza liczbę rund, w których wygrywa Adam lub Bob, to pytanie brzmi: znaleźć EX.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1725
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: Tmkk » 3 lip 2022, o 21:06

Jakieś własne próby rozwiązania? W którym momencie pojawia się problem?

Karka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 24 lis 2021, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 6 razy

Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: Karka20 » 3 lip 2022, o 22:48

Jeżeli chodzi o pierwszą część zadania to myślę że odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{8} }\)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1725
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: Tmkk » 4 lip 2022, o 00:36

To, że Adam wygra kiedykolwiek jest na pewno bardziej prawdopodobne, niż to, że wygra już w pierwszym strzale. Więc szukane prawdopodobieństwo musi być na pewno większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Mam nadzieję, że to jest jasne i rozumiesz, dlaczego odpowiedz \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) nie może być poprawna.

Tutaj rozbicie się samo narzuca:
-albo Adam wygra w pierwszym strzale
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi,
...

i tak dalej.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7252
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana

Post autor: janusz47 » 4 lip 2022, o 17:49

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie "trafił Adam",

\(\displaystyle{ P(A) = p = \frac{1}{2}, }\)

\(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie "trafił Bob",

\(\displaystyle{ P(B) = q = \frac{1}{3},}\)

\(\displaystyle{ AW }\) - zdarzenie "Adam wygra" (zdobędzie nagrodę),

\(\displaystyle{ P(AW) }\) - prawdopodobieństwo zdarzenia "Adam zdobędzie nagrodę.

Mamy doczynienia z nieskończoną sumą niezależnych zdarzeń losowych o prawdopodobieństwach:

\(\displaystyle{ P(AW) = p +(1-p)\cdot (1-q)\cdot p + (1-p)^2\cdot (1-q)^2\cdot p + (1-p)^3\cdot (1-q)^3\cdot p+ }\)

\(\displaystyle{ \ \ ... = p\cdot [ (1-p)\cdot(1-q)+ (1-p)^2(1- q)^2+(1-p)^3\cdot(1-q)^3+...] }\)

Jest to suma nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ r = (1-p)\cdot (1-q), \ \ 0<r<1. }\)

\(\displaystyle{ P(AW) = p \cdot \frac{1}{1 - (1-p)(1-q)} = p\cdot \frac{1}{1 -(1-q-p+pq)}= \frac{p}{p+q -pq}. }\)

ODPOWIEDZ