Zmienna losowa

[adek781]

Łączny rozkład zmiennej losowej (X,Y) opisujemy funkcją gęstości:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{3}{2}xy}\), \(\displaystyle{ 0 \le x \wedge 0 \le y \wedge x+y \le 2}\)
Sprawdź czy jest to funkcja gęstości. Następnie:
a)Oblicz \(\displaystyle{ P(X>0 \left| \right| Y=0.5)}\) (warunkowe)
b)Oblicz \(\displaystyle{ P(x \in (0.5,1) \left| \right| Y=0.5)}\) (warunkowe)

Przy sprawdzaniu czy funkcja jest gęstością wychodzi mi, że 6=1, całkuje podwójnie po granicach od 0 do 2 dla x i y? W podpunktach a i b korzystam normalnie ze wzoru na prawdopodobienstwo warunkowe tylko nie wiem jak rozpisać dalej, pomoze ktos?

[a4karo]

Narysuj obszar, w którym jest określona funkcja gęstości. Dowiesz się jakie będą granice całkowania.

[janusz47]

Masz jakiś podręcznik z Rachunku Prawdopodobieństwa zawierający rozdział o zmiennych losowych przynajmniej dwuwymiarowych?

Jeśli zajrzysz do podręcznika, to tam na pewno znajdziesz takie lub podobne zdanie:

a)
Aby funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) }\) była funkcją gęstości, musi spełniać dwa warunki:

1.
\(\displaystyle{ \bigwedge _{(x,y)\in \RR^2} f(x,y) \ge 0 }\)

2.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(x,y) dx\cdot dy = 1 }\)

Spójrzmy na wzór funkcji gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{2}x y \ \ \mbox{gdy} \ \ 0 \le x \wedge 0 \le y \wedge x+y \leq 2 \\ 0 \ \ \mbox{w pozostałych przypadkach} \end{cases} }\)

Jeśli narysujemy (jak sugerował Pan a4karo) zbiór określoności naszej funkcji \(\displaystyle{ T= \{(x,y): x\ge 0 \wedge y\ge 0 \wedge x+ y \leq 2 \}, }\) to

widzimy, że warunek 1. jest spełniony, bo funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest określona w trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ T }\) z brzegiem i

dla nieujemnych wartości argumentów \(\displaystyle{ x, y }\) przyjmuje wartości nieujemne.

Obliczamy całkę podwójną funkcji gęstości po zbiorze \(\displaystyle{ T }\)

\(\displaystyle{ \iint_{T} f(x,y)dx\cdot dy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x}\frac{3}{2}dy\cdot dx = \int_{0}^{2}\frac{3}{4}xy^2 \mid_{0}^{2-x}dx = \frac{3}{4}\int_{0}^{2}x(2-x)^2 dx = }\)

Aby obliczyć ostatnią całkę zastosujemy wzór na kwadrat różnicy dwóch liczb:

\(\displaystyle{ = \frac{3}{4}\int_{0}^{2} x(4-4x +x^2)dx = \frac{3}{4} \int_{0}^{2}(x^3 -4x^2+4x)dx = \frac{3}{4}\left[ \frac{1}{4}x^4-4\cdot \frac{1}{3}x^3 + 4\cdot \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{2} = \frac{3}{4}\left[ \frac{1}{4}\cdot 2^4 - 4\cdot \frac{1}{3}\cdot 2^3 + 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 2^2\right] + }\)

\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\left[ \frac{1}{4}\cdot 0^4 - 4\cdot \frac{1}{3}\cdot 0^3 + 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 0^2 \right] = \frac{3}{4}\left[4 - \frac{32}{3}+8\right] = \frac{3}{4}\left [ 12 - \frac{32}{3}\right] = \frac{3}{4}\left[ \frac{36}{3}=\frac{32}{3}\right] =\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) }\) spełnia warunki funkcji gęstości - możemy przystąpić do obliczenia prawdopodobieństw warunkowych.

b)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe zmiennej losowej \(\displaystyle{ X >0 }\) pod warunkiem zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = 0,5 \ \ P(X>0| Y=0,5).}\)

Zaglądamy znowu do podręcznika i dowiadujemy się , że w przypadku wektorów losowych ciągłych, określamy rozkład warunkowy poprzez zadanie

gęstości rozkładu warunkowego.

Dla naszej dwuwymiarowej zmiennej losowej (dwuwymiarowego wektora losowego) \(\displaystyle{ (X,Y) }\) otrzymujemy wzór na

gęstość warunkową:

\(\displaystyle{ f_{(X|Y)}(x|y) = \frac{f_{(X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}.}\)

W mianowniku tego wzoru występuje gęstość brzegowa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y }\), którą musimy obliczyć:

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)}(x,y)dx = \int_{0}^{2-y}\frac{3}{2}x\cdot y\cdot dx = \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}x^2\cdot y |_{0}^{2-y} = \frac{3}{4}(2-y)^2 \cdot y }\)

Stąd gęstość warunkowa:

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x|y) = \frac{\frac{3}{2}x\cdot y}{\frac{3}{4}(2-y)^2\cdot y} = \frac{2x}{(2-y)^2}.}\)

Pozostało obliczenie prawdpodobieństwa warunkowego:

\(\displaystyle{ P(X>0|Y=0,5) = \int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2x}{(2-0,5)^2}dx = \int_{0}^{\frac{3}{2}}\frac{2x}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}dx = \frac{8}{9}\int_{0}^{\frac{3}{2}}x\cdot dx=\frac{8}{9}\cdot \frac{1}{2}x^2\mid_{0}^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{9}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{8}{18}\cdot \frac{9}{4} =1.}\)

c)

Prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P[X\in (0,5; 1)|Y=0,5] }\) obliczamy analogicznie, zmieniając tylko granice całkowania zmiennej losowej \(\displaystyle{ X.}\)

[Glue]

Pozostało obliczenie prawdpodobieństwa warunkowego:

\(\displaystyle{ P(X>0|Y=0,5) = \int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2x}{(2-0,5)^2}dx = ...}\)

Wynik faktycznie dobry, lecz jak wyznaczyłeś górną granicę całkowania?

[janusz47]

Jeśli ustalimy wartość \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}, }\) to \(\displaystyle{ x \in [0, \ \ 2-y] =\left [0, \ \ 2 -\frac{1}{2}\right] = \left[ 0, \frac{3}{2} \right]. }\)