Nierówność Czebyszewa

[bartekw2213]

Rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) , która przyjmuje wartość równą liczbie wyrzuconych reszek w \(\displaystyle{ n}\) rzutach symetryczną monetą. Wartość średnia i wariancja takiej zmiennej losowej opisywanej rozkładem dwumianowym:
\(\displaystyle{ EX=\frac{n}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ WX=\frac{n}{4}}\).

Szukamy \(\displaystyle{ P(X \ge \frac{4}{5})}\).


Rozwiązanie do tego zadania zaczyna się w taki sposób:

Zauważmy, że wykorzystując symetrię rozkładu względem wartości średniej zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ P(X \ge \frac{4n}{5}) = 2 \cdot P(|X - EX| \ge \frac{4n}{5} - \frac{n}{2})}\)

...

Skąd i na jakiej podstawie powyższa równość została wywnioskowana?

[Tmkk]

Jesteś pewny, że ta dwójka, przez którą przemnożone jest prawdopodobieństwo, jest w dobrym miejscu?

Jeśli nie, to taka równość jest właśnie z symetrii rozkładu względem średniej. A dokładniej, zmienne \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ n-X}\) mają ten sam rozkład - możesz to policzyć albo zauważyć, że jeśli zmienna \(\displaystyle{ X}\) zlicza reszki, to zmienna \(\displaystyle{ n-X}\) zlicza orły, a skoro moneta jest symetryczna, to jest to samo. Więc \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \ge \frac{4n}{5}\right) = \mathbb{P}\left(n - X \ge \frac{4n}{5}\right)}\). Czyli teraz jak rozpiszesz ten moduł pod prawdopodobieństwem i wstawisz \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \frac{n}{2}}\), to

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(|X-\mathbb{E}X| \ge \frac{4n}{5} - \frac{n}{2}\right) = \mathbb{P}\left(X \ge \frac{4n}{5} \right) + \mathbb{P}\left(X \le \frac{n}{5}\right) = 2 \mathbb{P}\left(X\ge \frac{4n}{5} \right).}\)