Nierówność Czebyszewa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Nierówność Czebyszewa

Post autor: bartekw2213 » 12 maja 2022, o 19:46

Rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) , która przyjmuje wartość równą liczbie wyrzuconych reszek w \(\displaystyle{ n}\) rzutach symetryczną monetą. Wartość średnia i wariancja takiej zmiennej losowej opisywanej rozkładem dwumianowym:
\(\displaystyle{ EX=\frac{n}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ WX=\frac{n}{4}}\).

Szukamy \(\displaystyle{ P(X \ge \frac{4}{5})}\).


Rozwiązanie do tego zadania zaczyna się w taki sposób:
Zauważmy, że wykorzystując symetrię rozkładu względem wartości średniej zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ P(X \ge \frac{4n}{5}) = 2 \cdot P(|X - EX| \ge \frac{4n}{5} - \frac{n}{2})}\)

...
Skąd i na jakiej podstawie powyższa równość została wywnioskowana?
Ostatnio zmieniony 12 maja 2022, o 20:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 493 razy

Re: Nierówność Czebyszewa

Post autor: Tmkk » 12 maja 2022, o 21:54

Jesteś pewny, że ta dwójka, przez którą przemnożone jest prawdopodobieństwo, jest w dobrym miejscu?

Jeśli nie, to taka równość jest właśnie z symetrii rozkładu względem średniej. A dokładniej, zmienne \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ n-X}\) mają ten sam rozkład - możesz to policzyć albo zauważyć, że jeśli zmienna \(\displaystyle{ X}\) zlicza reszki, to zmienna \(\displaystyle{ n-X}\) zlicza orły, a skoro moneta jest symetryczna, to jest to samo. Więc \(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \ge \frac{4n}{5}\right) = \mathbb{P}\left(n - X \ge \frac{4n}{5}\right)}\). Czyli teraz jak rozpiszesz ten moduł pod prawdopodobieństwem i wstawisz \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \frac{n}{2}}\), to

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(|X-\mathbb{E}X| \ge \frac{4n}{5} - \frac{n}{2}\right) = \mathbb{P}\left(X \ge \frac{4n}{5} \right) + \mathbb{P}\left(X \le \frac{n}{5}\right) = 2 \mathbb{P}\left(X\ge \frac{4n}{5} \right).}\)

ODPOWIEDZ