Funkcja tworząca losowej sumy zmiennych losowych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Pyszek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 16 sty 2022, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 2 razy

Funkcja tworząca losowej sumy zmiennych losowych

Post autor: Pyszek » 16 sty 2022, o 12:07

Dzień dobry,
Mam problem z taką rzeczą:
Ile wynosi funkcja tworząca losowej sumy zmiennych losowej. Podaj przykład razem z dowodem.

Dodano po 4 godzinach 54 minutach 12 sekundach:
dla każdego \(\displaystyle{ x \in [-1,1]}\)
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb{P} (\xi_1+...+\xi_{\nu})x^k =$$
$$= \sum_{k=0}^{\infty} x^k \sum_{l=0}^{\infty} \mathbb{P}(\xi_1+...+\xi_{\nu}= k, \nu = l) = $$
$$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k \sum_{l=0}^{\infty} \mathbb{P}(\xi_1+...+\xi_l= k) \mathbb{P} (\nu = l) = $$
$$ \sum_{l=0}^{\infty} \mathbb{P} (\nu = l) \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb{P} (\xi_1+...+\xi_l= k) x^k =$$
$$ \sum_{l=0}^{\infty} \mathbb{P} f(x)^l = g(f(x))$$

Czy to jest dobrze?
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 17:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7088
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1530 razy

Re: Funkcja tworząca losowej sumy zmiennych losowych

Post autor: janusz47 » 16 sty 2022, o 21:27

To jest poprawnie przeprowadzony dowód twierdzenia:

Jeżeli \(\displaystyle{ (\xi_{n}) }\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tej samej funkcji tworzącej \(\displaystyle{ f }\), a \(\displaystyle{ n }\) jest niezależną od tego ciągu zmienną losową o funkcji tworzącej \(\displaystyle{ g }\), to losowa suma \(\displaystyle{ S_{n} = \xi_{1} + \xi_{2} + \xi_{n} }\) ma funkcję tworzącą \(\displaystyle{ h= g(f(x)).}\)

Wykorzystujemy ważną własność funkcji tworzącej \(\displaystyle{ g_{\xi}(s) = E(s^{\xi}).}\)

Dla sumy niezależnych zmiennych losowych mamy:

\(\displaystyle{ g_{\xi_{1}+ \xi_{2}+...+\xi{n}} (s) = E(s^{\xi_{1}+\xi_{2}+...+\xi_{n}}) = E(s^{\xi_{1}})\cdot E(s^{\xi_{2}})\cdot ...\cdot E(s^{\xi_{n}}).}\)

ODPOWIEDZ