Martyngały, filtracja

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Dokładnie, plus jeszcze warunek o mierzalności. Tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | Y_n)}\) jest zmienną losową, która jest \(\displaystyle{ Y_n}\) mierzalna i zachodzi taka równość, jak napisałaś, tzn

\(\displaystyle{ \int_{B} \mathbb{E}(X | Y_n)\mbox{d}\mathbb{P} = \int_{B} X \mbox{d}\mathbb{P}}\) dla każdego \(\displaystyle{ B \in \sigma(Y_n)}\).

Bardzo ważne jest to, że ta równość ma być na zbiorach z sigma ciała względem którego wyznaczamy warunkową wartość oczekiwaną, nie ma byle jakich. Taki jest z resztą główny sens tego pojęcia.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Hmm no to mam tą równość, wiem jak wygląda sima ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y_{n}}\). Jak np. \(\displaystyle{ B\in [0,t]}\), a \(\displaystyle{ t\in[0,1-\frac{1}{n}]}\) to co mogę dalej zrobić?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Przede wszystkim, skoro to ma być zmienna losowa, która jest mierzalna względem \(\displaystyle{ Y_n}\), to spodziewamy się, że będzie postaci \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | Y_n) = g(Y_n)}\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g}\), którą trzeba znaleźć. Czyli masz równanie

\(\displaystyle{ \int_{B} g(Y_n)(x) \mbox{d}x = \int_{B} 2x \mbox{d}x}\),

które ma być spełnione dla każdego \(\displaystyle{ B \in \sigma(Y_n)}\). To pokombinuj teraz trochę - weź sobie jakiś zbiór z \(\displaystyle{ \sigma(Y_n)}\), sprawdź na nim, weź jakiś inny, spróbuj jakoś uogólnić, może coś zgadnąć, coś wyliczyć... i tu znowu, wystarczy popatrzeć na generatory, które masz scharakteryzowane w bardzo ładnej postaci, więc to nie będzie wcale takie trudne.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Myślałam trochę nad tym i nie wiem jak ruszyć. Na zajęciach mieliśmy jakieś proste przykłady, gdzie np. \(\displaystyle{ Y}\) generował zbiory symetryczne względem \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) i wtedy zapisywaliśmy \(\displaystyle{ A=1-A}\) całkę rozbijaliśmy na sumę dwóch całek jedną po zbiorze \(\displaystyle{ A}\) drugą po zbiorze \(\displaystyle{ 1-A}\) później zamienialiśmy granicę aby obie całki były po \(\displaystyle{ A}\) dodawaliśmy i otrzymywaliśmy postać warunkowej wartości oczekiwanej.
Ale tu kompletnie nie wiem od czego zacząć, nie widzę jak to mogę rozbić, rozpisać.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Ten przykład też jest dość prosty, bo tu z kolei \(\displaystyle{ Y_n}\) "generuje" głównie odcinki \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla odpowiedniego \(\displaystyle{ t}\). No i jeszcze jest ten zbiór \(\displaystyle{ \left( 1-\frac{1}{n} 1\right]}\), ale o tym później.

To weźmy jakiś przykładowy zbiór z tego sigma ciała, patrząc na generatory, niech on będzie postaci \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \left[0, 1-\frac{1}{n}\right]}\). Prawa strona to po prostu \(\displaystyle{ \int_{0}^t 2\omega \mbox{d}\omega}\), co można policzyć, ale nie trzeba.

A ile jest równa lewa strona, a dokładniej, jak wygląda funkcja podcałkowa w lewej stronie, czyli \(\displaystyle{ g(Y_n)(\omega)}\), gdy jesteśmy na tym przedziale? Ile wobec tego trzeba dać (to można w banalny sposób zgadnąć albo policzyć) za \(\displaystyle{ g}\), aby była równość?
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Czyli tą funkcja podcalkowa będzie \(\displaystyle{ 2 \sqrt{Y_{n}} }\) gdy jesteśmy w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,1-\frac{1}{n}\right] }\)?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

A nawet jak jesteśmy na dowolnym przedziale \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla \(\displaystyle{ \left[0, 1-\frac{1}{n}\right]}\) - więc to już prawie wszystko załatwione. Prawie, bo sprawdź teraz, co się dzieje, jak weźmiesz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) (albo \(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n} , 1\right] }\)).
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Tmkk pisze: 5 gru 2021, o 15:55 Prawie, bo sprawdź teraz, co się dzieje, jak weźmiesz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) (albo \(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n} , 1\right] }\)).
Wtedy \(\displaystyle{ E(X|Y_{n})=2 \omega}\)?

Dodano po 59 minutach 51 sekundach:
Mam jeszcze pytanie do podpunktu 3. Jeśli sprawdzam czy \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem i sprawdzam warunek \(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=X_{n}^{2}}\) I rozpisuje to następująco
\(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=E(E^{2}(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E^{2}(X|Y_{n})}\) I tu moje pytanie czy mogę napisać tą ostatnią równości bo gdyby tam nie było kwadratu , czyli \(\displaystyle{ E(E(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E(X|Y_{n}) }\) to to zachodzi, ale jak mamy kwadrat to tez to działa?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Iza8723 pisze: 7 gru 2021, o 00:02
Tmkk pisze: 5 gru 2021, o 15:55 Prawie, bo sprawdź teraz, co się dzieje, jak weźmiesz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) (albo \(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n} , 1\right] }\)).
Wtedy \(\displaystyle{ E(X|Y_{n})=2 \omega}\)?
Nie, policz jeszcze raz albo pokaż jak liczysz.
Iza8723 pisze: 7 gru 2021, o 00:02 Mam jeszcze pytanie do podpunktu 3. Jeśli sprawdzam czy \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem i sprawdzam warunek \(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=X_{n}^{2}}\) I rozpisuje to następująco
\(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=E(E^{2}(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E^{2}(X|Y_{n})}\) I tu moje pytanie czy mogę napisać tą ostatnią równości bo gdyby tam nie było kwadratu , czyli \(\displaystyle{ E(E(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E(X|Y_{n}) }\) to to zachodzi, ale jak mamy kwadrat to tez to działa?
Niestety, ta równość jest nieprawdziwa. Tu trzeba tak wprost policzyć, po to z resztą każą w podpunkcie b) wyznaczyć dokładnie \(\displaystyle{ X_n}\).
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Tmkk pisze: 7 gru 2021, o 01:05 Nie, policz jeszcze raz albo pokaż jak liczysz
Policzyłam jeszcze raz i wyszło \(\displaystyle{ 2-\frac{1}{n}}\), dobrze ?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Tak, to ile ostatecznie wynosi ta zmienna losowa \(\displaystyle{ X_n}\)?
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

\(\displaystyle{ X_{n}=2 \sqrt{Y_{n}} }\) dla przedziału \(\displaystyle{ [0,1-\frac{1}{n}]}\)
\(\displaystyle{ X_{n}=2-\frac{1}{n}}\) dla przedziału \(\displaystyle{ [1-\frac{1}{n},1]}\)
A czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ X_{n}=2 \sqrt{Y_{n}}=2\omega }\) I tak zostawić?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Iza8723 pisze: 7 gru 2021, o 20:29 A czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ X_{n}=2 \sqrt{Y_{n}}=2\omega }\) I tak zostawić?
ale dla przedziału \(\displaystyle{ \left[0,1-\frac{1}{n}\right]}\)? Tak.

I zauważ, że to musiało tyle wyjść. Jeśli jesteśmy na przedziale \(\displaystyle{ \left[0,1-\frac{1}{n}\right]}\) to jesteśmy w stanie zapisać funkcję \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) w terminach \(\displaystyle{ Y_n(\omega) = \omega^2}\) jako przekształcenie przez funkcję \(\displaystyle{ g(x) = 2\sqrt{x}}\). Więc tutaj to rzutowanie (czyli branie warunkowej wartości oczekiwanej) niczego nie zmienia - funkcja \(\displaystyle{ X}\) generuje to samo sigma ciało, co funkcja \(\displaystyle{ Y_n}\). Natomiast jak jesteśmy na przedziale \(\displaystyle{ \left[1-\frac{1}{n},1\right]}\), to już nie zapiszemy \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) w terminach \(\displaystyle{ Y_n(\omega) = 1}\) i jedyne co możemy dla tak ubogiej funkcji zrobić, to wziąć uśrednienie po tym przedziale - tak jak mówi warunkowa wartość oczekiwana. Rzeczywiście, zobacz, że to jest uśrednienie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left| \left[1-\frac{1}{n},1\right] \right|} \int_{1-\frac{1}{n}}^1 2\omega \mbox{d}\omega = n\left(1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right)^2\right) = 2 - \frac{1}{n}}\).

Podsumowując, wychodzi, że \(\displaystyle{ X_n(\omega) = 2\omega 1_{\left[0,1-\frac{1}{n}\right)} + \left(2-\frac{1}{n}\right) 1_{\left( 1-\frac{1}{n} , 1\right]}}\).

Dodano po 14 godzinach 39 minutach 48 sekundach:
A propos punktu c), dodam jeszcze, że to nie wychodzi martyngał.
ODPOWIEDZ