Rachunek prawdopodobieństwa- funkcja gęstości wektora losowego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Mathelp997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 27 sie 2021, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Rachunek prawdopodobieństwa- funkcja gęstości wektora losowego

Post autor: Mathelp997 »

Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x,y) =\begin{cases} c|x -y| &\text{dla } 1 \le x \le -1 \text{ oraz }1 \le y \le -1 &\\ 0&\text{ poza tym} \end{cases}}\)

Dla jakiego \(\displaystyle{ c}\) powyższa funkcja jest funkcją gęstości wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 22:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rachunek prawdopodobieństwa- funkcja gęstości wektora losowego

Post autor: janusz47 »

Proszę poprawić zapis funkcji gęstości łącznej wektora losowego:

\(\displaystyle{ f(x,y) =\begin{cases} c|x -y| &\text{dla } -1 \le x \le 1 \text{ oraz } -1 \le y \le 1 &\\ 0&\text{ poza tym}. \end{cases} }\)

Stałą \(\displaystyle{ c }\) wyznaczamy z warunku normalizacji gęstości łącznej:

\(\displaystyle{ 1 = P_{(X,Y)} (\RR^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx dy = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}c|x-y|dxdy. }\)

Aby odpowiedzieć na pytanie, czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y }\) są niezależne, należy policzyć gęstości brzegowe:

\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dy = \int_{-1}^{1} f_{(X,Y)}(x,y)dy }\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dx = \int_{-1}^{1} f_{(X,Y)}(x,y)dx }\)

i sprawdzić czy zachodzi równość (warunek niezależności):

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y). }\)
ODPOWIEDZ