Funkcja generująca momenty

[max123321]

Wyznacz funkcję generującą momenty, następnie funkcję generującą kumulanty, a na jej podstawie wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik skośności następujących rozkładów:
b) Dwumianowego o funkcji prawdopodobieństwa określonej na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n\right\} }\) wzorem \(\displaystyle{ P_r(N=k)= {n \choose k} q^k(1-q)^{n-k}}\)
Wskazówka jest, aby najpierw policzyć funkcję tworzącą momenty dla przypadku \(\displaystyle{ n=1}\), a później skorzystać z faktu, że zmienna o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ (n,q)}\) ma rozkład taki jak suma \(\displaystyle{ n}\) niezależnych zmiennych o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ (1,q)}\).

No więc liczę tak:
\(\displaystyle{ M_X(t)=E(e^{tX})= \sum_{k}^{}e^{tk}P(X=k)= \sum_{k}^{}e^{tk} {1 \choose k}q^k(1-q)^{1-k}=1-q+e^tq=q(e^t-1)+1 }\)
i dalej robię tak:
\(\displaystyle{ Y=X_1+X_2+...+X_n}\)
\(\displaystyle{ M_Y(t)=E(e^{tY})=E(e^{t(X_1+X_2+...+X_n)})=E(e^{tX_1} \cdot e^{tX_2} \cdot ... \cdot e^{tX_n})=}\)
i teraz chyba niezależność zmiennych \(\displaystyle{ X_i}\) pociąga niezależność zmiennych \(\displaystyle{ e^{tX_i}}\), ale nie jestem do końca pewny jak to uzasadnić, jakby ktoś mi to wyjaśnił będę wdzięczny.
No więc dostaję, że \(\displaystyle{ M_Y(t)=(q(e^t-1)+1)^n}\)
Czy tak jest dobrze?

[Tmkk]

Wszystko się zgadza, bo właśnie tak jest: Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ f(X),g(Y)}\) też są niezależne, gdzie \(\displaystyle{ f,g}\) to jakieś tam funkcje mierzalne powiedzmy. Wynika to bardzo prosto jak się napisze definicję niezależności i skorzysta z faktu, że dla borelowskiego zbioru \(\displaystyle{ A}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(X) \in A}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ X \in f^{-1}[A]}\).

[max123321]

No dobra więc tak:
\(\displaystyle{ M_Y'(t)=n(q(e^t-1)+1)^{n-1}qe^t}\), zatem:
\(\displaystyle{ EY=M_Y(0)=nq}\), dalej:
\(\displaystyle{ M_Y''(t)=n(n-1)(q(e^t-1)+1)^{n-2}q^2e^{2t}+n(q(e^t-1)+1)^{n-1}qe^t}\), czyli
\(\displaystyle{ E(Y^2)=M_Y''(0)=n(n-1)q^2+nq}\), więc:
\(\displaystyle{ Var Y=n(n-1)q^2+nq-n^2q^2=n^2q^2-nq^2+nq-n^2q^2=nq(1-q)}\)
Funkcja generująca kumulanty:
\(\displaystyle{ R_Y(t)=\ln(q(e^t-1)+1)^n=n\ln (q(e^t-1)+1)}\)
Czy tak jest dobrze? A jak ten współczynnik skośności obliczyć?

[Tmkk]

Tak, jest dobrze. A współczynnik skośności to jest wzorek uwzględniający trzeci moment, zobacz na przykład na angielskiej wikipedii pod terminem "Skewness".

[max123321]

Chodzi Ci o ten wzorek?:
\(\displaystyle{ \mu_3= \frac{E(X^3)-3\mu \sigma^2-\mu^3}{\sigma^3} }\)

No dobra to liczę trzeci moment:
\(\displaystyle{ M_Y'''(t)=n(n-1)n-2)(q(e^t-1)+1)^{n-3}q^3e^{3t}+n(n-1)(q(e^t-1)+1)^{n-2} \cdot 2q^2e^{2t}+}\)
\(\displaystyle{ +n(n-1)(q(e^t-1)+1)^{n-2}q^2e^{2t}+n(q(e^t-1)+1)^{n-1}qe^t}\), więc:
\(\displaystyle{ E(Y^3)=M_Y'''(0)=n(n-1)(n-2)q^3+2n(n-1)q^2+n(n-1)q^2+nq=}\)
\(\displaystyle{ =n(n-1)(n-2)q^3+3n(n-1)q^2+nq}\),
zatem podstawiając to wszystko do tego wzoru mamy, że:
\(\displaystyle{ \mu_3= \frac{n(n-1)(n-2)q^3+3n(n-1)q^2+nq-3n^2q^2(1-q)-n^3q^3}{(nq(1-q))^{3/2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(n-1)(n-2)q^2+3(n-1)q+1-3nq(1-q)-n^2q^2}{ \sqrt{nq(1-q)} }=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{2q^2-3q+1}{ \sqrt{nq(1-q)} }= \frac{2(q-1/2)(q-1)}{ \sqrt{nq(1-q)} } = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{(2q-1)(q-1)}{ \sqrt{nq(1-q)} }= }\)
\(\displaystyle{ =\frac{(1-2q)(1-q)}{ \sqrt{nq(1-q)} }=(1-2q) \sqrt{ \frac{1-q}{nq} } }\)
Czy tak jest dobrze?

[Tmkk]

W pierwszym przejściu, jak liczysz \(\displaystyle{ \mu_3}\) dzielisz przez \(\displaystyle{ qn}\). Wobec tego w mianowniku powinno zostac \(\displaystyle{ \sqrt{nq(1-q)^3}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{nq(1-q)}}\). Jak to poprawisz, to ostateczny wynik lekko się zmieni i już wszystko będzie ok.

[max123321]

Tak, faktycznie, mój błąd. Zatem ostatecznie chyba powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \frac{1-2q}{ \sqrt{nq(1-q)} } }\)
zgadza się?

[Tmkk]

Tak jest : )