Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
nejfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: nejfan » 24 paź 2020, o 19:51

Bardzo proszę o pomoc z rozwiązaniem zadania.

TREŚĆ:
Niech zmienna Losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z paramterem \(\displaystyle{ 1}\). Niech \(\displaystyle{ Y|X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1+X}\). Wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ X|Y}\).

ROZWIĄZANIE:
Wiemy, że :
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{k!e} =p_k}\)

\(\displaystyle{ f_{Y|X=k}(y,k)=(1+k)e^{-(1+k)y} = f_k(y)}\)

Chcemy policzyć:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)=\frac{f_k(y)\cdot p_k}{ \sum_{n=0}^{ \infty }f_n(y)p_n} }\)

Po podstawieniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)=\frac{e^{-(1+k)y}\frac{1+k}{k!}}{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!}} }\)

Jednak nie wiem co dalej i czy powyższe rozumowanie jest poprawne
Ostatnio zmieniony 25 paź 2020, o 12:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Literówki w temacie. Symbol mnożenia to \cdot.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6309
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1361 razy

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: janusz47 » 25 paź 2020, o 12:07

Rozumowanie poprawne.

Mianownik możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!} = 2e^{1- (n+1)y}. }\)

Dzielimy licznik przez mianownik, otrzymując rozkład:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)= \frac{1+k}{2k!}e ^{(n-k)y -1}.}\)

nejfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: nejfan » 25 paź 2020, o 12:54

janusz47 pisze:
25 paź 2020, o 12:07

Mianownik możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!} = 2e^{1- (n+1)y}. }\)
Mam pytanie. W jaki sposób został policzony ten szereg?

I czy cały wynik nie powinno się dać przedstawić jako przykład konkretnego rozkładu?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6309
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1361 razy

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: janusz47 » 25 paź 2020, o 14:31

Jest to przykład rozkładu wykładniczego należącego do pewnej rodziny rozkładów wykładniczych.

Rozpisujemy szereg na sumę dwóch szeregów i stosujemy wzór na szereg \(\displaystyle{ exp.}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18789
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3179 razy

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: a4karo » 25 paź 2020, o 15:13

janusz47 pisze:
25 paź 2020, o 12:07
Rozumowanie poprawne.

Mianownik możemy zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }e^{-(1+n)y}\frac{1+n}{n!} = 2e^{1- (n+1)y}. }\)

Dzielimy licznik przez mianownik, otrzymując rozkład:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k|Y=y)= \frac{1+k}{2k!}e ^{(n-k)y -1}.}\)
Trochę bez sensu te wzorki.

nejfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: nejfan » 25 paź 2020, o 15:52

Po policzeniu dostaje sumę szeregu:
\(\displaystyle{ e^{-y+e^{-y}}(e^2+1)}\)

Po podstawieniu ostatecznie otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{1+k}{k!(e^2+1)}e^{-(ky+e^{-y})}}\)

Natomiast czy na podstawie tego mogę stwierdzić że jest to rozkład wykłądniczy?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6309
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1361 razy

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: janusz47 » 25 paź 2020, o 16:36

To nie jest rozkład wykładniczy.

nejfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rozkład warunkowy (ciągła i dyskretna zmienna losowa)

Post autor: nejfan » 25 paź 2020, o 16:56

Czy w takim razie popełniam gdzieś błąd? Nie wiem jaki rozkład będzie tutaj pasował.

ODPOWIEDZ