Rozkład warunkowy

[zuzajanusz9]

Hejka,

Mam problem z poniższym zadaniem:

Zad 4 Niech \(\displaystyle{ (X,Y)}\) będzie wektorem losowym o rozkładzie zadanym przez gęstość \(\displaystyle{ f_{X,Y}(x,y)= \frac{x^2+y^2}{8}\cdot e^{-x}}\) dla \(\displaystyle{ 𝑦 > 0, |𝑥| < 𝑦}\). Znaleźć rozkłady warunkowe \(\displaystyle{ 𝑋| 𝑌}\) oraz \(\displaystyle{ 𝑌| 𝑋}\). Obliczyć \(\displaystyle{ 𝑃(𝑋 > 1|𝑌 = 𝑡) .
}\)
Wyznaczyłam gęstości brzegowe oraz skorzystałam ze wzory na \(\displaystyle{ f_{X|Y} = \frac{f _{X,Y} (t,y)}{f_{X}(t)}}\).
Ale nie wiem jak wyliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 𝑃(𝑋 > 1|𝑌 = 𝑡)}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr(\{ X> 1|Y = t\}) = \frac{Pr(\{ X >1, Y = t\})}{Pr( \{Y= t\})}. }\)

[zuzajanusz9]

\(\displaystyle{ Pr(\{ X> 1|Y = t\}) = \frac{Pr(\{ X >1, Y = t\})}{Pr( \{Y= t\})}. }\)

Dzięki za wskazówkę!

Czyli to prawdopodonieństwo w mianowniku to będzie \(\displaystyle{ \int_{1}^{t} f_{X,Y} (x,y) dx? }\)
A jak policzyć prawdopodobieństwo w liczniku? czy to będzie 1?
Czy mogę to również zapisać jako \(\displaystyle{ \int_{1}^{t} f_{X|Y} (x,y) dx? }\) ?

[janusz47]

Tak w mianowniku rozkład brzegowy

\(\displaystyle{ \int_{1}^{t} f_{(X,Y)} (x,y) dx, }\)

w liczniku

\(\displaystyle{ \int_{1}^{t} f_{X|Y} (x,y) dx. }\)