O procesie stochastycznym Poissona

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6077
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1303 razy

O procesie stochastycznym Poissona

Post autor: janusz47 » 14 wrz 2020, o 20:06

W teorii prawdopodobieństwa rozpatruje się często doświadczenia losowe stanowiące pewne procesy przebiegające w czasie.

Do nich należą doświadczenia składające się z kolejno wykonywanych prób niezależnych (w szczególności schemat Bernoulliego) oraz doświadczenia wieloetapowe.

W doświadczeniach tych interesuje nas stan pewnego układu mogący zmieniać co jednostkę czasu.

Są to procesy z czasem dyskretnym.

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się także opisem procesów losowych z czasem ciągłym , tzn. takich układów fizycznych, których stan może ulegać zmianie w dowolnej chwili.

Wspomniane wyżej procesy losowe noszą także nazwę procesów stochastycznych.

Rozpatrzmy na przykład proces emisji cząstek \(\displaystyle{ \alpha }\) przez substancję promieniotwórczą.

Chcąc podać pełny opis tego procesu trzeba by skonstruować model probabilistyczny doświadczenia polegającego na obserwacji substancji promieniotwórczej w czasie od \(\displaystyle{ 0 }\) do \(\displaystyle{ \infty }\) i notowaniu, w których występuje emisja cząstek.

Jako wynik tego doświadczenia można przyjąć funkcję \(\displaystyle{ f }\) określoną następująco:

\(\displaystyle{ (1)\ \ f(t) = \begin{cases} 0 \ \ \mbox{dla} \ \ 0 \leq t \leq t_{1} \\ 1 \ \ \mbox{dla} \ \ t_{1}\leq t < t_{2} \\ 2 \ \ \mbox{dla} \ \ t_{2}\leq t < t_{3} \\ ................., \end{cases} }\)

gdzie \(\displaystyle{ t_{k} }\) oznacza chwilę emisji \(\displaystyle{ k }\) tej z kolei cząstki \(\displaystyle{ \alpha.}\)

Każda funkcja postaci \(\displaystyle{ (1) }\) reprezentuję możliwą realizację naszego procesu. Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega }\) można by więc przyjąć zbiór wszystkich funkcji postaci \(\displaystyle{ (1) }\)

Ta przestrzeń jest jednak nieprzeliczalna i nie może być traktowana jako podzbiór skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Okazuje się jednak , że pewne interesujące problemy dotyczące takiego procesu można rozstrzygnąć podając nie pełny ale częściowy jego opis probabilistyczny.

Liczne obserwacje procesu emisji cząstek \(\displaystyle{ \alpha }\) prowadzą do następujących wniosków:

1) Proces ten jest jednorodny w czasie tzn. przy wielokrotnej jego obserwacji częstość emisji danej liczby cząstek w przedziale czasu o ustalonej długości nie zależy od położenia tego przedziału na osi czasu.

2) Proces ten ma własność braku pamięci, tzn. przebieg procesu emisji cząstek po dowolnej chwili nie zależy od przebiegu procesu do tej chwili. Inaczej mówiąc emisje cząstek w rozłącznych przedziałach czasu można traktować jako zdarzenia niezależne.

3) Częstość emisji jednej cząstki w ciągu bardzo krótkiego przedziału czasu jest w przybliżeniu proporcjonalna do jego długości , a emisja więcej niż jednej cząstki w ciągu bardzo krótkiego przedziału czasu praktycznie się nie zdarza.

Istnieją także inne procesy losowe niż emisja cząstek \(\displaystyle{ \alpha }\) np. proces zgłoszeń abonentów do centrali telefonicznej w celu uzyskania połączenia.

Procesy mające własności \(\displaystyle{ 1), 2), 3) }\) nazywamy procesami Poissona.

Jak już zauważyliśmy, nie jesteśmy w stanie zbudować modelu całego procesu Poissona. Zadowolimy się zbudowaniem modeli doświadczeń częściowych.

Każde z doświadczeń częściowych polega na liczeniu liczby wyemitowanych cząstek \(\displaystyle{ \alpha }\) w ustalonym odcinku czasu.

Zgodnie z własnością \(\displaystyle{ 1) }\) model takiego doświadczenia częściowego powinien być taki sam dla wszystkich odcinków czasu o tej samej długości \(\displaystyle{ t }\) przy dowolnym położeniu na osi czasu \(\displaystyle{ t. }\)

Oznaczmy ten model przez \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ P_{t}). }\)

Naturalną przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór \(\displaystyle{ \Omega = \{0,1,2,3,..., \}, }\) gdyż w każdym przedziale czasu może pojawić się ( teoretycznie) dowolna liczba wyemitowanych cząstek \(\displaystyle{ \alpha. }\)

Postać rozkładu \(\displaystyle{ P_{t} }\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t }\) wyniknie z postulatów jakie nałożymy na \(\displaystyle{ P_{t}, \ \ 0\leq t < \infty.
}\)


Niech \(\displaystyle{ t>0 }\) będzie dowolną ustaloną liczbą, a \(\displaystyle{ t_{1}> 0, \ \ t_{2} > 0 }\) dowolnymi takimi liczbami, że \(\displaystyle{ t_{1}+t_{2} = t.}\)

Z liczbami tymi związane są trzy doświadczenia losowe : liczenie liczby cząstek w przedziale czasu o długościach odpowiednio \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}, t. }\)

Ich modele są odpowiednio postaci \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ P_{t_{1}}), \ \ (\Omega, \ \ P_{t_{2}}), \ \ (\Omega, \ \ P_{t}).}\)

Zgodnie z własnością \(\displaystyle{ 2) }\) - modelem doświadczenia polegającego na liczeniu cząstek w przedziale czasu o długości \(\displaystyle{ t }\) powinien być także model produktowy \(\displaystyle{ ( \Omega \times \Omega, \ \ P_{t_{1}} \times P_{t_{2}} ).}\)

Mamy więc dwa modele tego samego doświadczenia: model \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ P_{t}) }\) i model \(\displaystyle{ (\Omega \times \Omega, \ \ P_{t_{1}} \times P_{t_{2}} ).}\)

Modele te powinny być zgodne. Oznacza to, że każde zdarzenie, które da się opisać w terminach obu modeli powinno mieć tą samą wartość prawdopodobieństwa.

Takim zdarzeniem jest w szczególności zanotowanie \(\displaystyle{ k }\) cząstek w przedziale czasu o długości \(\displaystyle{ t.}\)

Zdarzenie to w modelu \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ P_{t}) }\) jest zdarzeniem elementarnym \(\displaystyle{ k, }\) a w modelu \(\displaystyle{ (\Omega \times \Omega, \ \ P_{t_{1}} \times P_{t_{2}} ) }\) ma postać następującego zbioru par:

\(\displaystyle{ (0, \ \ k), \ \ (1, \ \ k-1), \ \ (2, \ \ k-2), ..., (k, \ \ 0).}\)

Własność \(\displaystyle{ 2) }\) prowadzi do postulatu, aby dla \(\displaystyle{ t_{1} > 0, \ \ t_{2} > 0. }\)

\(\displaystyle{ (1) \ \ P_{t_{1}+t_{2}} = \sum_{j=0}^{k} P_{t_{1}}(j)\cdot P_{t_{2}}(k- j), \ \ k= 0,1,2,... }\)

Zgodnie z własnością \(\displaystyle{ 3) }\) należy postulować, aby

\(\displaystyle{ (1) \ \ P_{t}(1) = \lambda t + o(t), }\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda >0 }\) jest pewną stałą charakterystyczną dla danego procesu, \(\displaystyle{ o(t) }\) - symbolem Landau'a, oraz

\(\displaystyle{ (3) \ \ \sum_{k=2}^{\infty} P_{t}(k) = o(t). }\)

Reasumując chcemy, aby w przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega = \{0,1,2,..., \} }\) określić rodzinę rozkładów \(\displaystyle{ P_{t}, }\) tak aby były spełnione postulaty dane wzorami \(\displaystyle{ (1), (2), (3). }\)

W dalszym ciągu prawdopodobieństwa w rozkładzie \(\displaystyle{ P_{t} }\) oznaczamy

\(\displaystyle{ P_{t}(k) = p_{k}(t), \ \ k=0,1,2,...}\)

Przy tych oznaczeniach wzory \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\) przyjmą postać:

\(\displaystyle{ (1') \ \ p_{k}(t_{1} +t_{2}) = \sum_{j=0}^{k} p_{j}(t_{1}) \cdot p_{k-j}(t_{2}), \ \ k=0,1,2,...}\)

\(\displaystyle{ (2') \ \ p_{1}(t) = \lambda\cdot t + o(t). }\)

\(\displaystyle{ (3') \ \ \sum_{k=2}^{\infty} p_{k}(t) = o(t). }\)

Nasze zadanie sprowadza się do znalezienia ciągu funkcji \(\displaystyle{ p_{k}(t), \ \ k=0,1,2,... }\) określonych dla \(\displaystyle{ 0\leq t < \infty }\) mających własności \(\displaystyle{ (1'), (2'), (3') }\) oraz takich, że dla każdego

\(\displaystyle{ (4) \ \ t\in \langle 0, \ \ \infty ), \ \ p_{k}(t) \geq 0, \ \ k=0,1,2,..., \ \ \sum_{k=0}^{\infty} p_{k}(t) = 1 }\)

Załóżmy, że ciąg takich funkcji istnieje. Wówczas zgodnie ze wzorami \(\displaystyle{ (2'), (3'), (4) }\)

\(\displaystyle{ (5) \ \ p_{0}(t) = 1 -[ p_{1}(t) + p_{2}(t)+...] = 1 - \lambda \cdot t + o(t). }\)

Podstawiając we wzorze \(\displaystyle{ (1'), \ \ t_{1} = t , \ \ t_{2} = \Delta t, }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ p_{0}(t+\Delta t) = p_{0}(t) \cdot p_{0}(\Delta t) }\)

oraz uwzględniając wzór \(\displaystyle{ (3') }\)

\(\displaystyle{ p_{k}(t + \Delta t) = p_{k}(t)\cdot p_{0}(\Delta t) + p_{k-1}(t)\cdot p_{1}(\Delta)+ o(\Delta t), \ \ k = 1,2,... }\)

Biorąc pod uwagę \(\displaystyle{ (2') }\) i \(\displaystyle{ (5) }\) dostajemy z kolei

\(\displaystyle{ p_{0}(t+\Delta t) = p_{0}(t)[ 1 -\lambda \Delta t + o(\Delta t)] }\)

\(\displaystyle{ p_{k}(t +\Delta t)= p_{k}[1 -\lambda \cdot \Delta t + o(\Delta t) ] + p_{k-1}(t)[ \lambda \cdot \Delta t + o(\Delta t)], \ \ k=0,1,2,...}\)

czyli

\(\displaystyle{ (6) \ \ \frac{p_{0}(t+\Delta t) - p_{0}(t)}{\Delta t} = -\lambda \cdot p_{0}(t) + \frac{o(\Delta)}{\Delta t} }\)


\(\displaystyle{ (7) \ \ \frac{p_{k}(t+\Delta t)- p(t)}{\Delta t} = -\lambda \cdot p_{k}(t) + \lambda\cdot p_{k-1}(t) + \frac{o(\Delta t)}{\Delta t}, \ \ k=0,1,2...}\)

Przy \(\displaystyle{ \Delta t \rightarrow 0 }\) istnieją granice prawych i lewych stron \(\displaystyle{ (6), (7) }\) i dostajemy

\(\displaystyle{ (8) \ \ \frac{d p_{0}(t)}{dt} = -\lambda p_{0}(t) }\)

\(\displaystyle{ (9) \frac{d p_{k}}{dt} = -\lambda \cdot p_{k}(t) + \lambda \cdot p_{k-1}(t), \ \ k=0,1,2,... }\)

Otrzymaliśmy nieskończony układ równań różniczkowych \(\displaystyle{ (8), ( 9),}\) na szukane funkcje \(\displaystyle{ p_{k}(t), \ \ k=0,1,2,...}\)

Przyjmujemy warunki początkowe \(\displaystyle{ p_{0}(0) = 1, \ \ p_{k}(0) = 0, \ \ k= 0,1,2,... }\) odpowiadające faktowi, że liczenie sygnału rozpoczynamy w chwili \(\displaystyle{ t = 0. }\)

Równanie \(\displaystyle{ (8) }\) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, rozwiązując je:

\(\displaystyle{ \frac{d p_{0}}{p_{0}(t)} = -\lambda \cdot dt ,}\)

\(\displaystyle{ \ln(p_{0}(t)) = -\lambda \cdot t + c, }\)

\(\displaystyle{ p_{0} = e^{-\lambda t + c}. }\)

Uwzględniając warunek początkowy \(\displaystyle{ p_{0}(0) = 1, }\) dostajemy

\(\displaystyle{ p_{0}(t) = e^{-\lambda \cdot t}. }\)

Podstawiając tę funkcję do równania \(\displaystyle{ (9) }\) dla \(\displaystyle{ k =1 }\) dostajemy równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego na funkcję \(\displaystyle{ p_{1}(t) }\):

\(\displaystyle{ (10) \ \ \frac{d p_{1}(t)}{dt} = -\lambda \cdot p_{1}(t) - \lambda e^{-\lambda \cdot t} }\)

Odpowiadające mu równanie liniowe jednorodne

\(\displaystyle{ \frac{d p_{1}(t)}{dt} = -\lambda \cdot p_{1}(t) }\)

ma postać \(\displaystyle{ (8) }\)

a więc jego rozwiązaniem ogólnym jest \(\displaystyle{ p_{1}(t) = e^{-\lambda \cdot t +c} , }\) lub oznaczając \(\displaystyle{ e^{c} = C }\)

\(\displaystyle{ (11) \ \ p_{1}(t) = C e^{-\lambda \cdot t}. }\)

Aby rozwiązać równanie niejednorodne \(\displaystyle{ (10) }\) uzmienniamy w \(\displaystyle{ (11) }\) stałą \(\displaystyle{ C,}\) to znaczy szukamy rozwiązania \(\displaystyle{ (10) }\) w postaci

\(\displaystyle{ (12) p_{1}(t) = C(t)e ^{-\lambda \cdot t} }\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (12) }\) do równania latex] (10) [/latex] otrzymujemy równanie różniczkowe na funkcję \(\displaystyle{ C(t) }\)

\(\displaystyle{ (13) \ \ \frac{dC(t)}{dt} = \lambda }\)

Z równania \(\displaystyle{ (13) }\)

\(\displaystyle{ C(t) = \lambda \cdot t + c_{1}, }\) czyli zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ (12) }\) rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ (10) }\) jest funkcja

\(\displaystyle{ p_{1}(t) = (\lambda t +c_{1}) e^{-\lambda \cdot t}. }\)

Uwzględniając warunek początkowy \(\displaystyle{ p_{1}(0) = 0 }\) dostajemy

\(\displaystyle{ (14) \ \ p_{1}(t) = \lambda \cdot te^{-\lambda \cdot t} }\)

Podstawiając funkcję \(\displaystyle{ (14) }\) do wzoru \(\displaystyle{ (9) }\) przy \(\displaystyle{ k =2 }\) i uwzględniając warunek poczatkowy \(\displaystyle{ p_{2}(0)= 0 }\) dostajemy w podobny sposób

\(\displaystyle{ p_{2}(t) = \frac{(\lambda \cdot t)^2}{2} e^{-\lambda \cdot t}. }\)

Indukcyjnie dowodzi się, że

\(\displaystyle{ (15) \ \ p_{k}(t) = \frac{(\lambda \cdot t)^{k}}{k!} e^{-\lambda \cdot t} \ \ k=0,1,2,... }\)

Sprawdzamy, że funkcje \(\displaystyle{ (15) }\) mają powyższe własności.

Własność \(\displaystyle{ (4) }\) wynika z tego, że dla kazdego ustalonego \(\displaystyle{ t }\) liczby \(\displaystyle{ p_{k}(t), \ \ k=0,1,2,... }\) dane wzorem \(\displaystyle{ (15) }\) są prawdopodobieństwami w rozkładzie Poissona.

Sprawdzamy własność \(\displaystyle{ (1') }\)

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{k} p_{j}(t_{1})\cdot p_{k - j}(t_{2}) = \sum_{j=0}^{k} \frac{(\lambda t_{1})^{j}}{j!} e^{-\lambda \cdot t_{1}} \frac{(\lambda \cdot t_{2})^{k-j}}{(k-j)!} e^{-\lambda\cdot t_{2}} = e^{-(\lambda\cdot(t_{1} + t_{2})} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k} {k\choose j}(\lambda \cdot t_{1})^{j}(\lambda\cdot t_{2})^{k-j} = \frac{[\lambda\cdot( t_{1}+t_{2})]^{k}}{ k!} e^{-(\lambda \cdot (t_{1} + t_{2})} = }\)
\(\displaystyle{ = p_{k}(t_{1}+t_{2}).}\)

Przechodzimy do sprawdzenia własności \(\displaystyle{ (2'), (3').}\)

Zgodnie z \(\displaystyle{ (15) \ \ p_{1}(t) = \lambda \cdot te^{-\lambda \cdot t}, }\)

skąd

\(\displaystyle{ (16) p_{1}(t) -\lambda \cdot t = \lambda \cdot t (e^{-\lambda\cdot t} -1) = o(t).}\)

Ostatnia równość wynika stąd, że

\(\displaystyle{ \lim_{t\ to 0} \lambda\cdot (e^{-\lambda \cdot t} -1 ) = 0 }\)

Z kolei korzystając z \(\displaystyle{ (15) }\) i \(\displaystyle{ (16) }\) mamy

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{\infty} p_{k}(t) = 1 - p_{0}(t) - p_{1}(t) = 1 - e^{-\lambda \cdot t} -\lambda \cdot t + o(t) = o(t). }\)

Ostatnia równość wynika stąd, że

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \left[ \frac{1 -e^{-\lambda \cdot t}}{t} - \lambda + \frac{o(t)}{t} \right] = 0.}\)

Rodzina rozkładów \(\displaystyle{ P_{t} }\) dana wzorami \(\displaystyle{ (15) }\) stanowi szukaną przez nas rodzinę rozkładów Poissona o wartości średniej \(\displaystyle{ \lambda \cdot t }\)

Parametr \(\displaystyle{ \lambda }\) procesu Poissona jest więc średnią liczbą cząstek \(\displaystyle{ \alpha }\) emitowaną w jednostce czasu.

Parametr \(\displaystyle{ \lambda }\) nosi nazwę intensywności procesu Poissona. W praktyce wyznacza się na podstawie obserwacji przebiegu procesu.

Literatura

Lech Tadeusz Kubik. Rachunek Prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych . PWN Warszawa 1980.

Andrzej Krupowicz, Lech Tadeusz Kubik. O procesie stochastycznym Poissona. MATEMATYKA czasopismo dla nauczycieli Nr. 1 1980.

Dodano po 12 godzinach 49 minutach 30 sekundach:
Zakładając, że wszystkie trajektorie procesu Poissona są prawostronnie ciągłe, udowodnimy, że wtedy prawie wszystkie trajektorie są niemalejącymi funkcjami o wartościach całkowitych - rosnącymi tylko skokami o wartości \(\displaystyle{ 1.}\)

W tym celu pokażemy, że następujące zdarzenia mają prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ 1.}\)

\(\displaystyle{ A =\left \{ \xi_{t} \in \ZZ: \ \ \forall \left( t = \frac{k}{2^{n}} \right) \right \} }\)

\(\displaystyle{ B = \left\{ \xi_{t_{1}} \leq \xi_{t_{2}} \ \ \forall (t_{1} \leq t_{2}) \wedge t_{1},\ \ t_{2} \in W \right\} }\)

\(\displaystyle{ C_{N} = \left\{ \forall_{i \in \ZZ} ( i \in [ 0, \xi_{N} ]) \ \ \exists_{t \in [0, N]} (\xi_{t} = i )\right\}. }\)

Zdarzenie \(\displaystyle{ A }\) jest przeliczalnym iloczynem zdarzeń \(\displaystyle{ A_{t} = \{ \xi_{t} \in \ZZ \}; }\) mamy bowiem

\(\displaystyle{ P(\{ \xi_{t} \in \ZZ \}) = P (\{ \xi_{t} - \xi_{0} \in \ZZ \}) = \sum_{i = 0} ^{\infty} P(\{ \xi_{t} - x_{0} = i \}) = 1 }\)

Stąd \(\displaystyle{ P(A) = 1. }\)

Zdarzenie \(\displaystyle{ B }\) jest częścią wspólną zdarzeń \(\displaystyle{ B_{1}, B_{2}, ..., }\)

gdzie

\(\displaystyle{ B_{n} = \{ \xi_{0} \leq \xi_{\frac{1}{2^{n}}}\leq \xi_{\frac{2}{2^{n}}}\leq ... \leq \xi_{\frac{k}{2^{n}}}\leq \xi_{\frac{k+1}{2^{n}}} \leq...\} = \bigcap_{k} \{\xi_{\frac{(k+1)}{2^{n}}} - \xi_{\frac{k}{2^{n}}} \geq 0 \} }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ P(\{ \xi_{\frac{(k+1)}{2^{n}}} - \xi_{\frac{k}{2^{n}}} \geq 0 \}) = 1, }\) więc \(\displaystyle{ 1 = P(B_{n}) = P(B). }\)

Zdarzenie \(\displaystyle{ C_{N} }\)

\(\displaystyle{ C _{N} \supseteq \bigcup_{k=0}^{2^{n} N -1} \{ \xi_{\frac{(k+1)}{2^{n}}} - \xi_{\frac{k}{2^{n}}} \} = \begin{cases} 0 \\ 1 \end{cases}}\)

zatem

\(\displaystyle{ P(C_{N}) = \prod_{k=0}^{2^{n}N -1} P(\{ \xi_{\frac{(k+1)}{2^{n}}} - \xi_{\frac{k}{2^{n}}} \}) = \begin{cases} 0 \\ 1 \end{cases} = }\)

\(\displaystyle{ = [e^{-\lambda \cdot 2^{n}} + \lambda \cdot 2^{-n} e^{-\lambda \cdot 2^{-n}}] ^{2^{n}N } }\)

Ale

\(\displaystyle{ e^{-\lambda} + \lambda\cdot e^{-\lambda} = 1 - o(\lambda), }\) gdy \(\displaystyle{ \lambda \rightarrow 0, }\)

więc

\(\displaystyle{ P(C_{N}) \geq [1 - o(\lambda \cdot 2^{-n}) ]^{N 2^{n}} \rightarrow 1 }\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty,}\)

a stąd \(\displaystyle{ P(C_{N}) = 1. }\)


Zdarzenie polegające na tym, że \(\displaystyle{ \xi_{t} }\) jest niemalejącą funkcją o wartościach całkowitych - rosnącą tylko skokami o wartości \(\displaystyle{ 1, }\) jest na mocy prawostronnej ciągłości \(\displaystyle{ \xi_{t} }\) równoważne zdarzeniu \(\displaystyle{ \{A \cap B \cap \cup C_{N}\} }\) o prawdopodobieństwie równym \(\displaystyle{ 1. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2020, o 20:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie używaj Caps Locka. Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ