Próby Bernoulliego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 334
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 238 razy
Pomógł: 4 razy

Próby Bernoulliego

Post autor: 41421356 » 29 cze 2020, o 11:36

Mirek trafia piłką do kosza każdorazowo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,6}\). Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafień przy \(\displaystyle{ 5}\) rzutach?

Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 456
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 137 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: JHN » 29 cze 2020, o 13:38

41421356 pisze:
29 cze 2020, o 11:36
Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\)?
Ponieważ
\(\displaystyle{ (5+1)\cdot0,6=3,6\notin\ZZ}\) i \(\displaystyle{ [3,6]=3}\),
to... tak.

Pozdrawiam

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 334
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 238 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: 41421356 » 29 cze 2020, o 15:58

A czy nie będzie to po prostu z wartości oczekiwanej dla rozkładu dwumianowego:

\(\displaystyle{ EX=np=5\cdot 0,6=3}\)

?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9109
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: Dasio11 » 29 cze 2020, o 16:43

Nie - niby dlaczego najbardziej prawdopodobna liczba trafień miałaby być równa wartości oczekiwanej?

Dla \(\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, 5}\) oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p_k = P(k \text{ trafień})}\) i wyznacz \(\displaystyle{ k}\), dla którego to prawdopodobieństwo jest największe. W razie problemów spróbuj zbadać monotoniczność \(\displaystyle{ p_k}\) jako ciągu zmiennej \(\displaystyle{ k}\).

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 334
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 238 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: 41421356 » 30 cze 2020, o 01:58

Ok, to może najpierw po kolei. Wartość oczekiwana w tym przypadku to nie będzie \(\displaystyle{ 3}\) tylko \(\displaystyle{ 3,6}\)?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9109
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: Dasio11 » 30 cze 2020, o 10:04

Wartość oczekiwana liczby trafień wynosi \(\displaystyle{ 3}\), ale nie ma to związku z treścią zadania.

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 334
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 238 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: 41421356 » 30 cze 2020, o 13:13

JHN pisze:
29 cze 2020, o 13:38
41421356 pisze:
29 cze 2020, o 11:36
Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 3}\)?
Ponieważ
\(\displaystyle{ (5+1)\cdot0,6=3,6\notin\ZZ}\) i \(\displaystyle{ [3,6]=3}\),
to... tak.

Pozdrawiam
Mógłbym prosić o wyjaśnienie tego rozumowania? Z tą wartością oczekiwaną to już jasne jest , że wynosi ona \(\displaystyle{ 3}\). Mam jeszcze pytanie odnośnie tego rozkładu. Czy jest jakiś wzór na to, aby bez wyliczania tych wszystkich prawdopodobieństw poznać właściwą odpowiedź?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9109
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: Dasio11 » 30 cze 2020, o 13:17

41421356 pisze:
30 cze 2020, o 13:13
Czy jest jakiś wzór na to, aby bez wyliczania tych wszystkich prawdopodobieństw poznać właściwą odpowiedź?
Wzór jest, ale wynika on właśnie z wyliczania "tych wszystkich prawdopodobieństw". Mianowicie: jeśli zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwumianowy \(\displaystyle{ \operatorname{B}(n, p)}\) i \(\displaystyle{ p < 1}\), to najbardziej prawdopodobną wartością \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \lfloor (n+1)p \rfloor}\).

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 334
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 238 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: 41421356 » 30 cze 2020, o 13:57

Rozumiem, po prostu pytanie w treści zadania odnosi się do mody. Jej równość z wartością oczekiwaną to zbieg okoliczności. Już wszystko jasne, dziękuję bardzo za pomoc i pozdrawiam!

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 456
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 137 razy

Re: Próby Bernoulliego

Post autor: JHN » 30 cze 2020, o 22:01


ODPOWIEDZ