Prawdopodobieństwo warunkowe

[Leoneq]

Mamy urnę z 9 kulami: 3 z nich są białe i 6 czarnych.

Losujemy (bez zwracania) dwie kule. Okazuje się, że wylosowane kule są tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowane kule są białe.

Niech:
A - wylosowane kule są białe
B - wylosowane kule są tego samego koloru

Wiem, że \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} }\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{ {3 \choose 2} }{ {9 \choose 2} } }\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {3 \choose 2} + {6 \choose 2} }{ {9 \choose 2} } }\)

Czyli: \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{ {3 \choose 2} }{{3 \choose 2} + {6 \choose 2} } = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} }\)

Dobrze myślę?

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym losowaniu dwóch kul z urny, zawierającej trzy kule białe i sześć kul czarnych.

Oznaczenia

\(\displaystyle{ b }\) - kula biała

\(\displaystyle{ c }\) - kula czarna.

Model doświadczenia losowego \(\displaystyle{ (\Omega, 2^{\Omega}, P ) }\)

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega = \{ \omega_{1}, \omega_{2}\}: \omega_{1} \in \{ b, b, b\}, \ \ \omega_{2}\in \{c, c, c, c, c, c \} \}. }\) - zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia.

\(\displaystyle{ |\Omega| = { 9\choose 2}. }\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega} }\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega, }\) łącznie ze zdarzeniem niemożliwym i zdarzeniem pewnym.

Zakładamy, że wszystkie losowania par kul są jednakowo możliwe

\(\displaystyle{ P (\omega) = \frac{1}{{ 9\choose 2}} }\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega. }\)

Oznaczenie zdarzeń

\(\displaystyle{ K }\) - wylosowane kule są tego samego koloru

\(\displaystyle{ B }\) - wylosowane kule są białe

Z treści zadania wynika, że mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(B|K) }\)

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

\(\displaystyle{ P(B|K) = \frac{P(B \cap K)}{P(K)} }\)

\(\displaystyle{ K = \{ \{b,b \}, \{c,c \} , \ \ b\in \{ b, b, b \} , \ \ c \in \{ c, c, c, c, c,c\} \} }\)

\(\displaystyle{ |K| = {3\choose 2} + {6 \choose 2} }\)

\(\displaystyle{ B = \{ \{b, b\}, \ \ b\in \{ b, b, b\} \} }\)

\(\displaystyle{ |B|= {3\choose 2} }\)

\(\displaystyle{ B \cap K = \{ {b, b}, \ \ b\in \{ b, b, b\} \} \cap \{ {b,b}, {c,c} , \ \ b\in \{ b, b, b \} , \ \ c \in \{ c, c, c, c, c,c\} \} = \{ \{b, b\}, b \in \{b,b,b \}\} = B. }\)

\(\displaystyle{ P(B|K) = \frac{{3\choose 2}}{{3\choose 2} + {6\choose 2}} }\)

\(\displaystyle{ P(B|K) = \frac{1}{6}. }\)

Interpretacja otrzymanego prawdopodobieństwa

W wyniku realizacji doświadczenia losowego, możemy oczekiwać, że jeżeli otrzymamy parę kul jednokolorowych to w \(\displaystyle{ 16,(6)\% }\) ogólnej liczbie jego wyników będzie to para kul białych.

Myślisz dobrze. Naucz się budować i interpretować modele probabilistyczne doświadczeń losowych.

[kerajs]

A - wylosowane kule są białe
B - wylosowane kule są tego samego koloru

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {3 \choose 2} + {6 \choose 2} }{ {9 \choose 2} } }\)

Dobrze myślę?

Myślę dobrze, a piszę źle (nb, to ciekawy proces psychologiczny). Sam tak robię, zwłaszcza w ostatnich linijkach rozwiązania.
Wiadomo, że miało być:
\(\displaystyle{ P(\blue{B}) = \frac{ {3 \choose 2} + {6 \choose 2} }{ {9 \choose 2} } }\)
Ale jak ocenić kartkówkę z takim (nie)błędem ?