Suma zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym

[stim4pl]

Witam mam problem z zadaniem ale tez nie jestem pewny czy dobrze zapamiętałem jego treść.

Niech zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3,....,X_{60}}\) mają rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \left<1,3\right>}\). Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) jest suma tych zmiennych losowych. Znajdź funkcje gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\).

Jeżeli te zadanie w ogóle ma sens proszę o pomoc. Dziękuję bardzo

[Premislav]

Czy te zmienne losowe są niezależne? Jeśli nie, to najpewniej nic się z tym nie da zrobić.

Inna rzecz, że nawet jeśli są niezależne, to raczej rozwiązanie nie jest proste, ja bym znalazł funkcję charakterystyczną prawdopodobieństwa, a potem jakiś wzór na odwrotną transformację Fouriera. Skąd masz to zadanie?

[stim4pl]

Jednak treść zadania brzmiała trochę inaczej. Nie mamy znaleźć funkcji gęstości ale obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{
\displaystyle{
P( 2\leqslant Y\leqslant 3)\\
f( x) =\begin{cases}
\frac{1}{2}, &1\leqslant x\leqslant 3\\
0, &w\ p.p
\end{cases}\\
Y_{60} =\sum ^{60}_{i=1} x_{i}\\
E( X_{i}) =2\\
D^{2}( X_{i}) =\frac{1}{3}\\
\sigma =\frac{\sqrt{3}}{3}\\
Z_{60} =\frac{Y_{60} -E( Y_{60})}{\sqrt{D^{2}( Y_{60})}}\\
E( Y_{60}) =\sum ^{60}_{i=1} E( X_{i}) =120\\
\sqrt{D^{2}( Y_{60})} =\sqrt{\frac{1}{3} \cdot 60} =\sqrt{20} =2\sqrt{5}\\
P( 2< Y_{60} < 3) =P\left(\frac{2-120}{2\sqrt{5}} < \frac{Y_{60} -120}{2\sqrt{5}} < \frac{3-120}{2\sqrt{5}}\right) =\\
=P\left(\frac{-59}{\sqrt{5}} \leqslant Z\leqslant \frac{-117}{2\sqrt{5}}\right) =\phi \left(\frac{-117}{2\sqrt{5}}\right) -\phi \left(\frac{-59}{\sqrt{5}}\right) =\\
=1-\phi \left(\frac{117}{2\sqrt{5}}\right) -1+\phi \left(\frac{59}{\sqrt{5}}\right) =\phi \left(\frac{59}{\sqrt{5}}\right) -\phi \left(\frac{117}{2\sqrt{5}}\right)
}}\)
Tylko nie wiem czy dobrze zrobiłem

[Premislav]

To nie jest dokładne prawdopodobieństwo, tylko przybliżone (na mocy CTG), ale rzeczywiście tak ma to więcej sensu.
Trzeba jeszcze odczytać wartości np. z tablic rozkładu normalnego (trzeba skorzystać z przybliżenia dziesiętnego) albo wpisać w program, np. R.