wzór dwumianowy Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
server88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 8 lis 2006, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr->WPPT->INF
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

wzór dwumianowy Newtona

Post autor: server88 »

Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{i=0} {n \choose i} {n-i \choose k-i} = 2^{k} }\)

znalazłem podobny temat z wyjątkiem tego że po obu stronach był sam dwumian Newtona (bez potęgi) i próbowałem przez indukcję, ale pogubiłem się później, proszę o pomoc
pozdrawiam
Awatar użytkownika
Gacuteek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1075
Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 272 razy

wzór dwumianowy Newtona

Post autor: Gacuteek »

Według mnie to będzie tak wyglądało:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{i=0} {n \choose i} {n-i \choose k-i} = 2^{k} }\)
LEWA STRONA:
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{i=0} {n \choose i} {n-i \choose k-i} = \frac{n!}{i!(n-i)!} \frac{(n-i)!}{(n-i-k+i)!(k-i)!} =\frac{n!}{i!(n-i)!}\cdot \frac{(n-i)!}{(n-k)!(k-i)!}= \frac{n!}{i!(n-k)!(k-i)!} = \frac{n!k!}{i!(n-k)!(k-i)!k!}= \frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{k!}{i!(k-i)!}= {k \choose i}}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{k} =(1+1) ^{k}}\)
\(\displaystyle{ (1+1) ^{k}= {k \choose 0} 1 ^{k} + {k \choose 1}1 ^{k-1} 1+ {k \choose 2}1 ^{k-2} 1 ^{2} + ... + {k \choose k-1} 1 1 ^{k-1}+ {k \choose k}1 ^{k}={k \choose i}}\)

\(\displaystyle{ {k \choose i} =2 ^{k}}\)
z tego wynika że:


\(\displaystyle{ \sum_{k}^{i=0} {n \choose i} {n-i \choose k-i}={n \choose k} {k \choose i}=2 ^{k} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{i=0} {n \choose i} {n-i \choose k-i} = 2^{k} }\)
server88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 8 lis 2006, o 17:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr->WPPT->INF
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

wzór dwumianowy Newtona

Post autor: server88 »

nie wpadłbym na to chyba dzięki serdeczne
ODPOWIEDZ