Mam problem z pewnymi zadaniami z kombinatoryki. Znam odpowiedzi, ale i tak nie wiem, jak je rozwiązać, dlatego też proszę o pomoc.
Zad. 1.
Jest ono już na forum, ale trochę nie rozumiem rozwiązania
.W grupie 10 osób przeprowadzono losowanie 3 biletów. Ustal na ile róznych sposobów mogło się zakończyć to losowanie, jeśli bilety były na ten sam seans filmowy i jedna osoba mogła wylosować więcej niż 1 bilet.
W odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ {10\choose 3}+2}+ {10 \choose 2}+ {10 \choose 1}=220}\)
Mam koncepcję, ale potrzebuje potwierdzenia, czy jest właściwa :
\(\displaystyle{ {10\choose 3}}\) - oznacza to, że losowały 3 osoby i każda ma po jednym bilecie
\(\displaystyle{ 2 * {10\choose 2}}\) - losowały dwie osoby i mamy dwa przypadki (dlatego * 2?) - jedna osoba wylosowała jeden, druga dwa i na odwrót
\(\displaystyle{ {10\choose 1}}\) - jedna osoba wylosowała 3 bilety
Jest tu dodawanie, a w niektórych zadaniach poszczególne wyniki trzeba pomnożyć, ale coś nie rozumiem czemu
.Zad.2
Również jest na forum, ale nie rozumiem rozpiski.
Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych n oraz k takich , że n>k, spełniona jest równość:
\(\displaystyle{ {n\choose k+1} + {n\choose k} = {n+1\choose k+1}}\)
Zad.3
Po jednej stronie pewnej alei parkowej wykopano 10 dołków.
Ile jest różnych sposobów posadzenia 5 lip, 3 kasztanowców i 2 dębów wzdłuż tej alei, jeśli pierwszym i ostatnim drzewem ma być lipa?
W rozwiązaniu jest \(\displaystyle{ {8 \choose 3} * {5 \choose 3} * {2 \choose 2}}\). Mamy więc obliczenia dt. 3 lip, 2 kasztanowców i 2 dębów. A co z pierwszą i ostatnią lipa? Nie zawieramy tego w obliczeniach, bo to jest z góry ustalone, że będą na pierwszym i ostatnim miejscu?
Zad. 4.
a) Rozdajemy 52 karty między czterech graczy. Ustal, ile jest możliwych różnych rozdań.
b) Grupę 30 osób chcemy podzielić na pięcioosobowe załogi. Na ile sposobów można to zrobić?
Tu już cienko z pomysłem. Rozwiązanie jest dla mnie jakieś takie dziwne
W punkcie a rozwiązanie jest następujące :
\(\displaystyle{ {52 \choose 13}* {39 \choose 13} {26 \choose 13}}\)
Zad. 5
Dziesięć różnych kul wrzucamy do szuflad. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić, jeżeli są dwie szuflady i w pierwszej szufladzie ma się znaleźć 8 kul, a w drugiej dwie kule.
Rozwiązanie : \(\displaystyle{ {10 \choose 8}}\)
Ale co się dzieje z tą drugą szufladą ?
Byłabym wdzięczna za pomoc .
Pozdrawiam,
M.