Zbiór liczb...

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
mimicus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 25 paź 2008, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 56 razy

Zbiór liczb...

Post autor: mimicus90 »

Ze zbioru liczb {\(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\)} losujemy kolejno cztery liczby bez zwracania, a następnie układamy je w kolejności losowania w liczbę czterocyfrową. Ile można otrzymać w ten sposób:

a)liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 25}\)
b)liczb większych od \(\displaystyle{ 5238}\)?

Dziękuję z wyprzedzeniem, za zaangażowanie!
Awatar użytkownika
exculibrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 31 sty 2008, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubin
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 6 razy

Zbiór liczb...

Post autor: exculibrus »

a) Zauważ że aby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 25}\) dwie ostatnie cyfry muszą być podzielne przez \(\displaystyle{ 25}\). Stąd liczba wygląda \(\displaystyle{ _ _ n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \epsilon}\) {\(\displaystyle{ 25, 50, 75}\)}; za każdym razem zostaje \(\displaystyle{ 8}\) liczb w puli. Pierwsze nie może być zero, stąd:

\(\displaystyle{ N=3*V_{8}^{2} - 3*V_{8}^{1}}\)(odejmujemy od całości wszystkie możliwe wariacje, gdzie \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwszą cyfrą)\(\displaystyle{ =3(8*7-8)=3*8*6=144}\)

b)aby liczba była większa od \(\displaystyle{ 5238}\) musisz wyliczyć wszystkie możliwe wariacje dla liczb gdzie: pierwsza cyfra należy do zbioru: {\(\displaystyle{ {6, 7, 8, 9}}\)}, później te gdzie pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 5}\) a druga należy do zbioru: {\(\displaystyle{ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}\)}, później wariacje gdy pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 5}\), druga to \(\displaystyle{ 2}\) a trzecia należy do zbioru: {\(\displaystyle{ {4, 5, 6, 7, 8, 9}}\)}, na końcu liczysz wariacje gdy później wariacje gdy pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 5}\), druga to \(\displaystyle{ 2}\) a trzecia to \(\displaystyle{ 3}\) zaś czwarta należy do zbioru {\(\displaystyle{ {9}}\)}; całość sumujesz. Rozumiesz dlaczego tak się robi?
Awatar użytkownika
mimicus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 25 paź 2008, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 56 razy

Zbiór liczb...

Post autor: mimicus90 »

Wynik w pierwszym powinien wynosić 154. Więc chyba gdzieś jest błąd.
W drugim rozumiem jak trzeba to zrobić, ale mam trudności z zapisem. Wynik w drugim to 2388.
Awatar użytkownika
exculibrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 31 sty 2008, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubin
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 6 razy

Zbiór liczb...

Post autor: exculibrus »

racja, przepraszam: w a) powinno być \(\displaystyle{ 3*V_{8}^{2}-2*7}\); ponieważ tylko dla wariacji zawierających końcówki {\(\displaystyle{ 25, 75}\)}, może występować na początku \(\displaystyle{ 0}\), a wtedy zostaje nam tylko jedno wolne miejsce w które możemy wstawić \(\displaystyle{ 7}\) różnych cyfr.

b) rozważmy jeden przypadek dla pierwszej cyfry \(\displaystyle{ 5}\) a drugiej większej od \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ 1}\)(jedna cyfra może być wstawiona na pierwsze miejsce)\(\displaystyle{ *7}\)(siedem możliwości wstawienia różnych cyfr na drugie miejsce)\(\displaystyle{ *V_{8}^{2}}\)(liczba możliwych wariacji dla ostatnich dwóch cyfr- 2 bo mamy dwa wolne miejsca, 8- bo wykorzystaliśmy już 2 cyfry z 10 cyfrowego zbioru).
Awatar użytkownika
mimicus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 25 paź 2008, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 56 razy

Zbiór liczb...

Post autor: mimicus90 »

Pierwsze już ogarnięte :p. A w drugim napisałem tak:
\(\displaystyle{ 1*7* V\V_{8}^{2} + 4}\) (bo \(\displaystyle{ 4}\) cyfry mogą być w tym miejscu {\(\displaystyle{ 6,7,8,9}\)}) \(\displaystyle{ * V \V_{9}^{3}}\) i nie wiem gdzie mam błąd?
Awatar użytkownika
exculibrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 31 sty 2008, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubin
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 6 razy

Zbiór liczb...

Post autor: exculibrus »

przepraszam Ciebie po raz kolejny (dawno nie spałem), Powinno być:
\(\displaystyle{ 4*V_{9}^{3}+6*V_{8}^{2}}\)(tu się pomyliłem, bo dla tego przypadku nie możemy zastosować wszystkich \(\displaystyle{ 7}\) cyfr, musimy wyelminować \(\displaystyle{ 5}\)- dla tego przypadku zakładamy że jest ona pierwszą cyfrą)\(\displaystyle{ +5*7+1}\); teraz powinno sie zgadzać, przelicz i zobacz do odpowiedzi dla pewności
Awatar użytkownika
mimicus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 25 paź 2008, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 56 razy

Zbiór liczb...

Post autor: mimicus90 »

Tak teraz jest wszystko ok. xd Mógłbyś jeszcze mi napisać tylko skąd to "+5*7+1"?
Chcę już po prostu wiedzieć jak robić zadania tego typu. Dziękuje za włożony wysiłek w wytłumaczenie mi tego !
Awatar użytkownika
exculibrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 31 sty 2008, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubin
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 6 razy

Zbiór liczb...

Post autor: exculibrus »

nie ma sprawy, zauważ że jeśli określimy dwa pierwsze wyrazy naszego czterocyfrowego ciągu jako \(\displaystyle{ 5 i 2}\), to na dla trzeciego wyrazu mamy \(\displaystyle{ 5*7}\) możliwości (\(\displaystyle{ 5}\), ponieważ za trzeci wyraz możemy podstawić tylko coś ze zbioru: {\(\displaystyle{ 4, 6, 7, 8, 9}\)}, zaś \(\displaystyle{ 7}\), ponieważ wtedy za czwarty wyraz ciągu możemy podstawić, któryś z wyrazów zbioru: {\(\displaystyle{ 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9}\)} odjąć jeden z wyrazów ciągu {\(\displaystyle{ 4, 6, 7, 8, 9}\)}, czyli musimy odrzucić jedną możliwość (nie jest ważne którą). Dodajemy \(\displaystyle{ 1}\) ponieważ jeśli określimy pierwsze trzy wyrazy ciągu jako:{\(\displaystyle{ 5 2 3}\)}, dla ostatniego wyrazu będziemy mogli wstawić tylko \(\displaystyle{ 9}\) aby został spełniony warunek.
Awatar użytkownika
mimicus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 25 paź 2008, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 56 razy

Zbiór liczb...

Post autor: mimicus90 »

Jeszcze raz dziękuję ! Teraz już wszystko stało się jasne xd.
ODPOWIEDZ