reszta z dzielenia

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
exculibrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 31 sty 2008, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubin
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 6 razy

reszta z dzielenia

Post autor: exculibrus »

Ze zbioru \(\displaystyle{ {1, 2, 3, 4, 5}}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie (ze zwracaniem) i oznaczamy je, w kolejności wylosowania, \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\). Ile można otrzymać takich par \(\displaystyle{ (a, b)}\), dla których:
a)\(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą parzystą,
b)reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a+b}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\),

Ad.a) Zrobiłem tak: skoro suma liczb jest liczbą parzystą to jedna z nich musi być parzysta, druga nieparzysta. Więc ze zbioru danych liczb wyselekcjonowałem te parzyste i nieparzyste. Później policzłem:
\(\displaystyle{ 2*3*2}\) gdzie pierwsza dwójka oznaczała możliwe liczby parzyste dla jednej z niewiadomych, trójka to liczby nie parzyste dla drugiej niewiadomej, a druga dwójka to zamiana typu liczb przypisanych niewiadomym. Mogę tak robić? Taki rachunek jest prawidłowy?

Ad.b) nie mam tutaj pojęcia. Muszę po prostu wypisać wszystkie kombinacje czy jest jakiś sposób? Chodzi mi o to gdybym miał zbiór składający się nie z pięciu elementów a np. z tysiąca elementów.
Awatar użytkownika
kadiii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 642
Rejestracja: 20 gru 2005, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 130 razy

reszta z dzielenia

Post autor: kadiii »

a)Aby suma była parzysta to musimy mieć \(\displaystyle{ 2}\) parzyste lub \(\displaystyle{ 2}\) nieparzyste, czyli par może być \(\displaystyle{ 3*3+2*2=13}\)
b)reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a+b}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\) czyli liczba \(\displaystyle{ a+b}\) musi być postaci \(\displaystyle{ 3n+2}\)
\(\displaystyle{ a+b=3n+2}\)
\(\displaystyle{ (a-1)+(b-1)=3n}\) czyli suma 2 liczb musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i znalezione liczby zwiększamy o 1 i sprawdzamy czy należą do zbioru. Podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) są tylko \(\displaystyle{ 1+5=6}\), ale \(\displaystyle{ 5+1}\) nie należy do zbioru i \(\displaystyle{ 2+4=6\ 2+1=3\ 4+1=5}\), które już należą. Kolejność jest ważna czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 2}\)(pary \(\displaystyle{ (3,5)}\) i \(\displaystyle{ (5,3)}\)).
Ogólnie można by zauważyć, że pary liczb podzielnych przez 3 rozkładają się dość regularnie względem liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) np. mamy \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 2+4}\)i \(\displaystyle{ 1+5}\)mamy \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 5+7\ 4+8\ 3+9\ 2+10\1+11}\). Łatwo więc odnaleźć ogólną regułę.
Awatar użytkownika
exculibrus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 31 sty 2008, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubin
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 6 razy

reszta z dzielenia

Post autor: exculibrus »

w a) powinno być 12 (odpowiedzi w zbiorze), zaś w b) 8. W b) będzie więc \(\displaystyle{ (5,3)n(3,5)n(3,2)n(2,3)n(4,4)}\) i chyba tyle... (nie mam więcej pomysłów)
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

reszta z dzielenia

Post autor: Lorek »

w a) są wariacje z powtórzeniami po prostu \(\displaystyle{ 2^{3}+2^2}\)
w b) jeszcze \(\displaystyle{ (1,1),\;(1,4),\;(4,1)}\)
ODPOWIEDZ