Kilka zadań:0

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
sphinxB

Kilka zadań:0

Post autor: sphinxB »

Witam i prosiłbym o rozwiązanie i wytłumaczenie dlaczego tak a nie inaczej. Z góry dziękuje.

1. na ile sposobow mozna ustawic w szeregu 8 osob tak aby:
a)osoby A i B staly obok siebie oraz aby pomiedzy ta para osob a osoba C staly 2 inne osoby
b)osoba A stala pierwsza w szeregu w dalszej zas czesci szeregu osoba B stala blizej A niz osoba C

2. ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o roznych cyfrach?

3.ile mozna utworzyc liczb pieciocyfrowych o roznych cyfrach nalezacych do zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
a)podzielnych przez 5
b)podzielnych przez 4
c) wiekszych od 60000

4.kazdemu z pieciu uczniow przyporzadkowujemy ocene roczna jaka otrzymal z matematyki. Ile jest mozliwych wynikow tego przyporzadkowania jesli:
a)kazdy z uczniow moze uzyskac dowolna ocene
b)kazdy z uczniow bedzie mial inna ocene
nykus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 11 sty 2006, o 01:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5 razy

Kilka zadań:0

Post autor: nykus »

1a). Oznaczmy te osoby: A,B,C,D,E,F,G,H. Teraz tak jak w treści zadania "zbijmy" osoby A i B w parę. Nasz zbiór wygląda następująco: AB,C,D,E,F,G,H (ma 7 elementów).
Mamy cztery potencjalne rodzaje ustawień, które nas interesują:
x,y,y,x,y,y,y,y
y,x,y,y,x,y,y,y
y,y,x,y,y,x,y,y
y,y,y,y,x,y,y,x
gdzie x-element AB lub C; y-jakikolwiek inny element
W każdym przypadku mamy 5! permutacji elementów typu y. Mnożymy to przez 4 układy (wypisane powyżej), następnie przez 2 (bo element typu x, który stoi jako pierwszy może być AB lub C), i jeszcze raz przez 2 (jak zamienimy osoby A i B miejscami, czyli zamiast elementu AB wprowadzimy element BA). Wynik: \(\displaystyle{ 5!\cdot 4\cdot 2\cdot 2}\)

1b). Pierwszą osobę "pakujemy" na 1-sze miejsce. Pozostaje zatem problem liczby rozmieszczeń pozostałych 7-miu osób na 7-miu miejscach, tak aby osoba B była przed osobą C. Miejsca te numerujemy od 1 do 7. Zauważmy, że jeżeli umieścimy osobę B na n-tym miejscu (\(\displaystyle{ n {1,..,6}}\)), to osobę C możemy umieścić na 7-n miejsc za n-tym miejscem. Pozostałe 5 osób "permutuje" w każdym przypadku na 5! sposobów.
Wynik:\(\displaystyle{ \bigsum_{n=1}^{6} (7-n) 5!}\)

2. Odsyłam: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=9477

3a). Liczby podzielne przez 5 mają ostatnią cyfrę 0 lub 5. Ostatnią cyfrę wybieramy na 2 sposoby. Pierwszą wybieramy teraz z 8 (bez zera i tej, która jest na końcu), 2-gą na 8 sposobów (dopuszczamy 0 ale nie dopuszczamy tej cyfry, która stoi na 1-szym miejscu), 3-cią i 4-tą odpowiednio na 7 i 6 sposobów, ograniczając zbiór z którego wybieramy, o te cyfry, które już wybraliśmy. I gotowe: \(\displaystyle{ 2\cdot 8\cdot 8\cdot 7\cdot 6}\)

3b). Liczby podzielne przez 4 mają następującą cechę:
a) ostatnia cyfra pochodzi ze zbioru {0,4,8}, a przedostatnia jest parzysta, lub
b) ostatnia cyfra pochodzi ze zbioru {2,6}, a przedostatnia jest nieparzysta.
Reszta rozumowania podobnie jak w 3a).
Wyniki (kolejne czynniki odpowiadają kolejnym cyfrom):
a) \(\displaystyle{ 7\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}\)
b) \(\displaystyle{ 7\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 2}\)
Ostatecznie (na mocy prawa sumy): \(\displaystyle{ 7\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3 + 7\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 2}\)

3c). Cała zabawa polega na tym aby pierwsza cyfra większa lub równa 6.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ 6\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}\)

4a). Zakładam, że posługujemy się skalą sześciostopniową (1-6).
Każdy z uczniów może otrzymać jedną z sześciu różnych ocen: \(\displaystyle{ 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\,=\,6^5}\) (tak naprawdę wariacje z powtórzeniami)

4b). (wariacje bez powtórzeń). 1-szy uczeń może otrzymać jedną z 6-ciu ocen, 2-gi - jedną z 5-ciu pozostałych, itd.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 =\frac{6!} {(6-5)!}}\)
ODPOWIEDZ