zad. 1
Dany jest ciąg\(\displaystyle{ ( a_{n})}\) o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n}{2}- \frac{1+2+3+...+n}{n+2}}\)
a) Zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n})}\)
b) Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n}}\)
zad. 2
Dany jest ciąg\(\displaystyle{ ( a_{n})}\) określony za pomocą wzoru rekurencyjnego \(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}=-1\\a_{n+1}= \frac{1+a_{n}}{3-a_{n}}\end{cases}}\)
a) Zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n})}\)
b) Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n}}\)
c) Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wyrazy ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n}) }\) są większe od \(\displaystyle{ \frac{3}{10}}\) i mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\)
Zadania różne z ciągów.
-
Xitami
Zadania różne z ciągów.
zad. 1
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i= \frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}- \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{n+2}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{n(n+2)}{2(n+2)}- \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{n+2} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+2n-n^2-n}{2(n+2)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{2(n+2)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{n}{n+2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{n}{n+2}=1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i= \frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{2}- \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{n+2}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{n(n+2)}{2(n+2)}- \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{n+2} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^2+2n-n^2-n}{2(n+2)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{2(n+2)}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{n}{n+2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{n}{n+2}=1}\)