Cześć mam te zadania do zrobienia na przyszły tydzień próbowałem rozwiązać je lecz idzie to ciężko bo sprawiają nam te zadania trudności. Był bym wdzięczny za pomoc
1. Na ile sposobów można rozmieścić 25 identycznych listów w dziesięciu różnych przegródkach tak, aby w każdej przegródce był co najmniej jeden list?
2. Przed wejściem do kina stoi n osób, jedna za drugą. Osoby te będą wpuszczane na seans do kina w k grupach (każda grupa składa się z co najmniej jednej osoby). Na ile sposobów można utworzyć tych k grup?
3. Ile rozwiązań ma równanie
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + . . . + x_{9} = 90}\)
gdzie każde \(\displaystyle{ x_{i}}\) jest liczbą całkowitą większą od 3?
4. Ile spośród wszystkich prostokątów, które można utworzyć na kracie n × n, jest kwadratami?
5. Udowodnić, dla \(\displaystyle{ n qslant k qslant 1}\), kombinatorycznie następujące
tożsamości \(\displaystyle{ (n N)}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0}k{n \choose k}=n^{2-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1}k (n+1-k) = {n+2 \choose 3}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0}{n \choose k}(m - 1) ^{n-k}=m ^{n}}\)
6.Pokazać używając argumentów kombinatorycznych i algebraicznych, że następująca równość zachodzi dla dowolnego n ∈ N:
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0}\frac{(2n)!}{(k!)^{2}}(n-k)!^{2}= {2n \choose n}^{2}}\)
Schematy wyboru i tożsamości kombinatoryczne
Schematy wyboru i tożsamości kombinatoryczne
zad.1.
Mamy 10 przegródek - można to zapisac inaczej...
kazda przegródka to \(\displaystyle{ x_{i}}\), a kazdy \(\displaystyle{ x_{i}}\) musi byc nie mniejszy niż 1.
Jeśli x mogą miec wartośc 0 (lub kazdą inną \(\displaystyle{ \leqslant25}\)to nasza równość wygladała by tak :
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=25}\)
czyli : \(\displaystyle{ {25+(10-1) \choose 10-1}}\)
ale zeby spelnic warunek ze \(\displaystyle{ x qslant 1}\), do kazdego x dodajemy 1, co jest rownoważne z odjeciem od wyniku liczby 10,
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=25-10}\)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=15}\)
co jest równoznaczne z zapisem :
\(\displaystyle{ {15+(10-1) \choose 10-1}}\)
zad 3. jest w tym momencie niemal rozwiązane :
kazdy \(\displaystyle{ x_{i}}\) jest \(\displaystyle{ \geqslant 4}\)
więc \(\displaystyle{ {(90-4*9)+(9-1) \choose 9-1}={54+(9-1) \choose 9-1}}\)
Mamy 10 przegródek - można to zapisac inaczej...
kazda przegródka to \(\displaystyle{ x_{i}}\), a kazdy \(\displaystyle{ x_{i}}\) musi byc nie mniejszy niż 1.
Jeśli x mogą miec wartośc 0 (lub kazdą inną \(\displaystyle{ \leqslant25}\)to nasza równość wygladała by tak :
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=25}\)
czyli : \(\displaystyle{ {25+(10-1) \choose 10-1}}\)
ale zeby spelnic warunek ze \(\displaystyle{ x qslant 1}\), do kazdego x dodajemy 1, co jest rownoważne z odjeciem od wyniku liczby 10,
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=25-10}\)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{10}=15}\)
co jest równoznaczne z zapisem :
\(\displaystyle{ {15+(10-1) \choose 10-1}}\)
zad 3. jest w tym momencie niemal rozwiązane :
kazdy \(\displaystyle{ x_{i}}\) jest \(\displaystyle{ \geqslant 4}\)
więc \(\displaystyle{ {(90-4*9)+(9-1) \choose 9-1}={54+(9-1) \choose 9-1}}\)