Hej nie wiem czy to dobre miejsce na to pytanie, ale niech bedzie: Możecie mi wyjaśnić dlaczego
\(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n}= (1+1)^{n}= 2^{n}}\)
Wzór z symbolem Newtona.
-
QuusAmo
- Użytkownik
- Posty: 168
- Rejestracja: 13 cze 2006, o 19:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dąbrova G.
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 65 razy
Wzór z symbolem Newtona.
Rozpiszmy sobie \(\displaystyle{ (a+b)^n}\) - robi się to właśnie korzystając z dwumianu Newtona.
Mamy :
\(\displaystyle{ {n \choose 0}a^n b^0+ {n \choose 1}a^{n-1}b^1+...+{n \choose k} a^{n-k}b^k + ... + {n \choose n-1} a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n}\).
Teraz podstaw \(\displaystyle{ a=b=1}\).
Mamy \(\displaystyle{ (1+1)^n={n \choose 0}1^n 1^0+ {n \choose 1}1^{n-1}1^1+...+{n \choose k} 1^{n-k}1^k + ... + {n \choose n-1} 1^1 1^{n-1} + {n \choose n}1^0 1^n}\)
Czyli \(\displaystyle{ 2^n = {n \choose 0}+ {n \choose 1}+...+ {n \choose n-1} + {n \choose n}}\)
Mamy :
\(\displaystyle{ {n \choose 0}a^n b^0+ {n \choose 1}a^{n-1}b^1+...+{n \choose k} a^{n-k}b^k + ... + {n \choose n-1} a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n}\).
Teraz podstaw \(\displaystyle{ a=b=1}\).
Mamy \(\displaystyle{ (1+1)^n={n \choose 0}1^n 1^0+ {n \choose 1}1^{n-1}1^1+...+{n \choose k} 1^{n-k}1^k + ... + {n \choose n-1} 1^1 1^{n-1} + {n \choose n}1^0 1^n}\)
Czyli \(\displaystyle{ 2^n = {n \choose 0}+ {n \choose 1}+...+ {n \choose n-1} + {n \choose n}}\)