Ustawienia książek na półce

[Kris-0]

Na półce ustawiamy 7 tomów encyklopedii i 7 tomów słownika języka polskiego (tomy o numerach od 1 do 7). Ile jest możliwych ustawień takich, żeby:
a) kolejność była zupełnie dowolna,
b) wszystkie słowniki stały razem i wszystkie encyklopedie razem,
c) encyklopedie były ustawione po kolei a słowniki dowolnie (mogą stać pomiędzy encyklopediami),
d) żadne dwa słowniki ani żadne dwie encyklopedie nie sąsiadowały,
e) tomy o jednakowych numerach sąsiadowały ze sobą,
f) pomiędzy pierwszym tomem słownika i pierwszym tomem encyklopedii stoi dokładnie 5 książek,
g) pięć początkowych tomów encyklopedii stoi razem, ale w dowolnej kolejności,
h) pięć początkowych tomów słownika stoi razem, po kolei

Jakieś wskazówki?

[Wasilewski]

a) To oczywiście wszystkie permutacje.
b) Najpierw wybierasz która seria stoi po lewej stronie półki, a która po prawej i potem w obrębie tych dwóch obszarów liczysz wszystkie permutacje.
c) Wybierasz siedem miejsc dla encyklopedii i ustawiasz je w kolejności. Na pozostałych siedmiu miejscach ustawiasz słowniki w dowolnej kolejności.
d) Czyli ustawiasz na przemian, poczynając od słownika tudzież encyklopedii. Na każdych siedmiu miejscach zajętych przez książki z jednej serii możesz je ustawiać w dowolnej kolejności.
e) Najpierw ustalasz kolejność numerków a potem w każdej parze ustalasz, która książka po lewej, a która po prawej.

[Kris-0]

Czyli
a) 14!
b) 7!*7!?
c) \(\displaystyle{ {14\choose 7} 7!}\)?
d) \(\displaystyle{ {7 \choose 2 }\cdot 7!}\)?
e) nie wiem
Największy problem mam właśnie z zapisem tego.

[Wasilewski]

a) Tak.
b) jeszcze razy 2, bo mogą być albo encyklopedie po lewej stronie, albo słowniki.
c) Tak.
d) Zdaje się, że \(\displaystyle{ 2\cdot 7!\cdot 7!}\)
e) Na 7! sposobów ustalasz kolejność numerków. Potem dla każdej pary masz dwa sposoby ustawienia, czyli razem daje nam to:
\(\displaystyle{ 7!\cdot 2^{7}}\)
Tak mi się przynajmniej wydaje.

[Kris-0]

Nawet teraz zrozumiałem:
a) było oczywiste od początku, przepisałem dla formalności
b) racja, zestawy słowników i encyklopedii można sobie przestawiać na 2! sposobów
c) tutaj rozumowałem tak, że policzyłem ilość podzbiorów dla encyklopedii a skoro mają być po kolei ustawione, to 1 tom na 1 sposób 2 też na 1 itd. 1*1*1*1*1*1*1*(14 po 7)*7! bo na tyle sposobów mogę ustawić słowniki
d) tutaj rozumiem, że 2 to ilość możliwości ustawień słowników i encyklopedii (miejsca parzyste i nieparzyste) a kolejność obu zestawów jest dowolna więc dwa razy 7!
e) tutaj wyjaśniłeś i nie ma co komentować

Pomęczę się jeszcze nad dalszymi podpunktami.

[Sylwek]

Pisałem to na fizyczny.net, może tu też się komuś przyda:

a) \(\displaystyle{ 14!}\) - chyba nie trzeba komentować
b) \(\displaystyle{ {2 \choose 1} P_7 P_7}\) - najpierw wybieramy, czy stoją pierwsze słowniki czy encyklopedie, a liczba ustawień we wnętrzu każdej z grup to \(\displaystyle{ P_7=7!}\)
c) załóżmy, że mamy je jakoś ustawione - wówczas możemy zamienić pomiędzy sobą kolejność encyklopedii na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów - dokładnie jeden z nich spełnia przy danym ustawieniu słowników warunek zadania - a możliwych ustawień słowników jest \(\displaystyle{ V_{14}^7=\frac{14!}{7!}}\)
d) pierwszą pozycję możemy wybrać na 2 sposoby, drugą na 7 (przeciwna grupa do poprzedniej), trzecią na 6 (bo zostało jeszcze 6 pozycji rodzaju, który był jako pierwszy) itp.
\(\displaystyle{ 2 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 2 1 1 = 14 (6!)^2}\)
e) Zatem mamy 7 grupek po dwa tomy, możliwości ich ustawienia jest \(\displaystyle{ P_7}\), na dodatek we wnętrzu każdej grupki mamy możliwe 2 ustawienia, zatem: \(\displaystyle{ P_7 \overline{V_{2}^7}=7! 2^7}\)
f) słownik 1. i enc. 1. mogą zajmować pary miejsc: (1,6), (2,7), (3,8), ... , (9,14) - takich par jest 9, na dodatek może być najpierw słownik, potem enc. bądź odwrotnie, a możliwości ustawienia pozostałych książek jest \(\displaystyle{ P_{12}}\), zatem: \(\displaystyle{ 9 2 P_{12}=18 12!}\)
g) Potraktujmy 5 pierwszych tomów encyklopedii jako "scaloną" książkę, wówczas zostało nam 10 książek do dowolnego ustawienia, ale kolejność tomów w "scalonej" książce wyznaczana jest na \(\displaystyle{ 5!}\) możliwości, toteż: \(\displaystyle{ P_{10} P_5 = 10! 5!}\)
h) to co wyżej, ale nie mieszamy "scalonej" książki: \(\displaystyle{ P_{10}=10!}\)

[Kris-0]

Bardzo mi pomogliście, wielkie dzięki.

A jeszcze takie coś:

Z półki opisanej w poprzednim zadaniu wyjmujemy losowo 3 książki. Ile jest możliwych wyników takiego "losowania" jeśli mogą być:
a) wszystkie możliwości,
b) jakiś tom pierwszy i dwa tomy o numerach parzystych,
c) same słowniki
d) dwie książki o tym samym numerze tomu, trzecia dowolna,
e) każda książka o innym numerze tomu,
f) jeden słownik i dwie encyklopedie
g) dwa tomy o numerze 5

Moje odpowiedzi:

a) \(\displaystyle{ {14\choose 3}}\)

b) \(\displaystyle{ {2\choose 1}\cdot {6\choose 2}}\)

c) \(\displaystyle{ {7\choose 3}}\)

d) \(\displaystyle{ {14 \choose 2}\cdot {12\choose 1}}\)

e) \(\displaystyle{ 14\cdot 12\cdot 10}\)

f) \(\displaystyle{ {7\choose 1}\cdot{7\choose 2}}\)

g) \(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot{4\choose 1}}\)

[Wasilewski]

Sylwek, w podpunkcie d) możemy wybrać pierwszą pozycję na 14 sposobów.
Co do f): ma być między nimi 5 książek, zatem te pary to raczej: (1,7), (2,8), ... (8,14)
Kris-O, w podpunkcie d) (znów) wydaje mi się, że powinno być inaczej. Nie wybierasz dowolnych dwóch tomów z czternastu, tylko wybierasz numer tomu (na 7 sposobów).