liczby ze zbioru

[MgielkaCuba]

Ile jest liczb zbioru \(\displaystyle{ [1, 10^{n}], // n>1}\) w których nie występują obok siebie dwie jednakowe cyfry?

[marcin_p321]

Podzielmy sobie zbiór \(\displaystyle{ [1,\ldots,10^{n}]}\) na rozłączne zbiory postaci \(\displaystyle{ [10^{i-1},ldots ,10^{i}), i =1,ldots,n}\) oraz \(\displaystyle{ \{10^{n}\}}\) Zauważmy, że możemy teraz badać ilość liczb spełniających warunki zadania dokładnie i - cyfrowych. Dla n > 1 liczba krańcowa będzie postaci \(\displaystyle{ 10\ldots 0}\) i nie spełnia warunków zadania.
Liczb dokładnie i - cyfrowych spełniających warunki zadania jest: \(\displaystyle{ 9^{i}}\), bo najbardziej znaczącą cyfrę wybieramy na 9 sposobów (0 odpada), następną też na 9 sposobów(odpada jedynie poprzedni wybór), itd.
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}9^{i}) +[n = 1 n = 0] = \frac{9(9^{n} - 1)}{9 - 1} + [n = 1 n = 0]}\).
Te [] to notacja Iversona. Wyrażenie [] przyjmuje wartość 1, jeśli warunek jest prawdziwy, 0 w przeciwnym wypadku.

Jeśli jest tylko ograniczenie do n > 1, to wystarczy tyle \(\displaystyle{ \frac{9(9^{n} - 1)}{9 - 1}}\)

Pozdrawiam,