Zadanie z dwumianem Newtona.

[Kedor]

Mam pewne zadanie, umiem dojść do wyniku za pomocą dedukcji, lecz potrzebuje rozwiązania na papierze, natomiast mam problem z dość chyba prostą czynnością.
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{a}+\sqrt{a^{-1}})^{15}}\)
Mam znaleźć wyrażenie bez a, i wiem że to będzie \(\displaystyle{ 5005}\) z uwagi że wykonując działanie po kolei w pewnym miejscu wyjdzie:
\(\displaystyle{ a^{\frac{9}{3}}*(\frac{1}{a})^{\frac{6}{2}}}\)
Po czym potęgi a następnie wyrażenia a się skróca i pozostanie liczba.
Lecz... nie wiem jak rozwiązać takie coś (co występuje na 2gim miejscu po znaku = ):
\(\displaystyle{ a^{\frac{14}{3}}*(\frac{1}{a})^{\frac{1}{2}}}\)
da się to w jakikolwiek sposób uprościć czy raczej musi tak zostać?






PS. Dobrze zamieniłem
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{a}+\sqrt{a^{-1}})^{15}}\)
na
\(\displaystyle{ (a^{\frac{1}{3}}*(\frac{1}{a})^{\frac{1}{2}})^{15}}\)
?

Dziękuję z góry.

[wb]

\(\displaystyle{ (\sqrt[3] a)^k (\sqrt{a^{-1}})^{15-k}=a^{ \frac{k}{3} } a^{- \frac{15-k}{2} }=a^{ \frac{k}{3}- \frac{15-k}{2} } \\ \\ \frac{k}{3}- \frac{15-k}{2}=0 \ \ \ / 6 \\ 2k-45+3k=0 \\ k=9 \\ \\ {15 \choose 9}a^0=5005}\)

[Kedor]

tylko takie drobne pytanie... bo jednego tutaj nie rozumiem, a jeśli zrozumiem to to all bedzie jasne.. skad się wzięło takie cudo?

\(\displaystyle{ (\sqrt[3] a)^k (\sqrt{a^{-1}})^{15-k}=a^{ \frac{k}{3} } a^{- \frac{15-k}{2} }=a^{ \frac{k}{3}- \frac{15-k}{2} }}\)

[wb]

Składniki dwumianu Newtona są postaci:
\(\displaystyle{ {n \choose k} a^k b^{n-k}}\)