W pola niesokonczonej szachownicy wpisano liczby naturalne w ten sposob ze kazda liczba w polu jest srednia arytmetyczna osmiu liczb z nia sasiadujach. wykaz ze liczba sto pojawila sie na szachownicy nieskonczenie wiele razy, albo nie pojawiala sie w cale.
poprosze o rozwiazanie.
szachownica
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: szczecin
szachownica
max tak? to tak taka szachownica nigdy nie może może powstać z liczb naturalnych
ponieważ aby srednia arytmetyczna bylo 10 (ktorej nie utworzymy z samych dziesiatek) musimy dawać wokolo wieksze i mniejsze cyfry... . a od tych mniejszych jeszcze mniejsze (i wieksze też) aż dojdziemy do liczby w ktorej trza bedzie użyć liczb minusowych
zaś jesli można używać liczb minusowych to taka szachownice sie da stworzyc ciągiem liczb:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10
10 11 12
czyli jest x pod nim x+3 po jego prawej stronie x +1 a po lewej x-1 u gory x-3 kaput?
ponieważ aby srednia arytmetyczna bylo 10 (ktorej nie utworzymy z samych dziesiatek) musimy dawać wokolo wieksze i mniejsze cyfry... . a od tych mniejszych jeszcze mniejsze (i wieksze też) aż dojdziemy do liczby w ktorej trza bedzie użyć liczb minusowych
zaś jesli można używać liczb minusowych to taka szachownice sie da stworzyc ciągiem liczb:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10
10 11 12
czyli jest x pod nim x+3 po jego prawej stronie x +1 a po lewej x-1 u gory x-3 kaput?
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
szachownica
Nietypowe rozwiazanie tego zadania. Ciekawe, czy poprawne, hehe.
Funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\times\mathbb{N} \mathbb{N}}\) spelniajace zalozenia zadania sa postaci:
\(\displaystyle{ f(a,b)=\sum _ix_i^ay_i^b}\),
gdzie pary \(\displaystyle{ (x_i,y_i)}\) sa pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ xy-\frac 18\left(x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+y^2+x+y+1\right)}\).
Zeby wartosci takiej funkcji byly naturalne, liczby \(\displaystyle{ x_i,y_i}\) musza byc naturalne (?). Jedyny naturalny pierwiastek tego wielomianu to \(\displaystyle{ (1,1)}\), zatem jedyne funkcje spelniajace warunki zadania to funkcje stale. Stad teza.
Funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\times\mathbb{N} \mathbb{N}}\) spelniajace zalozenia zadania sa postaci:
\(\displaystyle{ f(a,b)=\sum _ix_i^ay_i^b}\),
gdzie pary \(\displaystyle{ (x_i,y_i)}\) sa pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ xy-\frac 18\left(x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+y^2+x+y+1\right)}\).
Zeby wartosci takiej funkcji byly naturalne, liczby \(\displaystyle{ x_i,y_i}\) musza byc naturalne (?). Jedyny naturalny pierwiastek tego wielomianu to \(\displaystyle{ (1,1)}\), zatem jedyne funkcje spelniajace warunki zadania to funkcje stale. Stad teza.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
szachownica
Troszkę bardziej przystępne rozwiązanie, przypuśćmy, że na planszy znajdują się różne liczby naturalne. Wówczas znajduje się także pewna ilość liczb o wartości najmniejszej - niech będzie to a. Ale skoro znajdują się na tej planszy także liczby o większych wartościach, to pewne pole zawierające a będzie sąsiadowało z pewnym polem zawierającym b, przy czym \(\displaystyle{ b>a}\). Zarazem a jest równe średniej arytmetycznej b i jeszcze siedmiu liczb z nią sąsiadujących, zatem a sąsiaduje z polem, na którym znajduje się liczba o wartości mniejszej niż a - sprzeczność z wyborem liczby a.
Pokazaliśmy, że cała plansza jest pokryta jednakowymi liczbami - wnioski oczywiste
Pokazaliśmy, że cała plansza jest pokryta jednakowymi liczbami - wnioski oczywiste