szachownica

[mjunior3]

W pola niesokonczonej szachownicy wpisano liczby naturalne w ten sposob ze kazda liczba w polu jest srednia arytmetyczna osmiu liczb z nia sasiadujach. wykaz ze liczba sto pojawila sie na szachownicy nieskonczenie wiele razy, albo nie pojawiala sie w cale.

poprosze o rozwiazanie.

[K_jurkiewicz]

max tak? to tak taka szachownica nigdy nie może może powstać z liczb naturalnych
ponieważ aby srednia arytmetyczna bylo 10 (ktorej nie utworzymy z samych dziesiatek) musimy dawać wokolo wieksze i mniejsze cyfry... . a od tych mniejszych jeszcze mniejsze (i wieksze też) aż dojdziemy do liczby w ktorej trza bedzie użyć liczb minusowych

zaś jesli można używać liczb minusowych to taka szachownice sie da stworzyc ciągiem liczb:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10
10 11 12


czyli jest x pod nim x+3 po jego prawej stronie x +1 a po lewej x-1 u gory x-3 kaput?

[xiikzodz]

Nietypowe rozwiazanie tego zadania. Ciekawe, czy poprawne, hehe.

Funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\times\mathbb{N} \mathbb{N}}\) spelniajace zalozenia zadania sa postaci:

\(\displaystyle{ f(a,b)=\sum _ix_i^ay_i^b}\),

gdzie pary \(\displaystyle{ (x_i,y_i)}\) sa pierwiastkami wielomianu:

\(\displaystyle{ xy-\frac 18\left(x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+y^2+x+y+1\right)}\).

Zeby wartosci takiej funkcji byly naturalne, liczby \(\displaystyle{ x_i,y_i}\) musza byc naturalne (?). Jedyny naturalny pierwiastek tego wielomianu to \(\displaystyle{ (1,1)}\), zatem jedyne funkcje spelniajace warunki zadania to funkcje stale. Stad teza.

[Sylwek]

Troszkę bardziej przystępne rozwiązanie, przypuśćmy, że na planszy znajdują się różne liczby naturalne. Wówczas znajduje się także pewna ilość liczb o wartości najmniejszej - niech będzie to a. Ale skoro znajdują się na tej planszy także liczby o większych wartościach, to pewne pole zawierające a będzie sąsiadowało z pewnym polem zawierającym b, przy czym \(\displaystyle{ b>a}\). Zarazem a jest równe średniej arytmetycznej b i jeszcze siedmiu liczb z nią sąsiadujących, zatem a sąsiaduje z polem, na którym znajduje się liczba o wartości mniejszej niż a - sprzeczność z wyborem liczby a.

Pokazaliśmy, że cała plansza jest pokryta jednakowymi liczbami - wnioski oczywiste