ilosc prostych przechodzacy przez 6 punktów

wirus1910 · Post autor: **wirus1910** » 4 paź 2008, o 16:05

Danych jest 6 punktów z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej.Ile prostych można poprowadzić tak,by każda z nich przechodziła przez 2 punkty spośród danych?

QuusAmo · Post autor: **QuusAmo** » 4 paź 2008, o 16:09

\(\displaystyle{ {6 \choose 2}=15}\)

wirus1910 · Post autor: **wirus1910** » 5 paź 2008, o 09:38

prosze o pelne rozwiazanie

QuusAmo · Post autor: **QuusAmo** » 5 paź 2008, o 10:38

Musisz policzyć na ile sposobów można wybrać 2 punkty spośród 6-ciu (ponieważ żadne 3 nie są współliniowe), gdyż przez każde 2 punkty przejdzie jedna prosta.
Z kombinatoryki wiemy że jest to \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\).
Więcej opisu chyba do tego nie trzeba

wirus1910 · Post autor: **wirus1910** » 5 paź 2008, o 10:43

a czy napewno nie da sie "inaczej" (czyt.prościej ,szybciej)

QuusAmo · Post autor: **QuusAmo** » 5 paź 2008, o 11:08

Da się inaczej możesz pozaznaczać sobie 6 punktów i narysować wszystkie proste przez nie przechodzące . Ale co jest długiego w obliczeniu \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\) - tego nie rozumiem

wirus1910 · Post autor: **wirus1910** » 5 paź 2008, o 16:28

jak nie ma nic dlugiego mi to zajmie z 30 min.

eesiek · Post autor: **eesiek** » 4 sie 2009, o 20:10

Oczywiście, że da się prościej.
p- ilość prostych
x- ilość punktów

p= \(\displaystyle{ \frac{x*(x-1)}{2}}\)

podstawiamy do wzoru,

p = \(\displaystyle{ \frac{6*5}{2}}\)
p = 15

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 5 sie 2009, o 09:33

Ilość krawędzi w grafie pełnym o 6 wierzchołkach

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 5 sie 2009, o 09:33

No do licha, czy to jest prościej?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 5 sie 2009, o 09:42

Ja tylko wskazałem inny sposób podejścia do sprawy. "Prościej" jest zawsze kwestią mocno subiektywną

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 5 sie 2009, o 09:45

No ja rozumiem. Ale autor przesadza z tym że obliczenie ile to jest \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\) zajmuje pół godziny. Zajmuje dokładnie 6 sekund:
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6}{2 \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15}\)

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 5 sie 2009, o 09:46

Ja tylko wskazałem inny sposób podejścia do sprawy. "Prościej" jest zawsze kwestią mocno subiektywną
Można jeszcze zastosować wzór na ilośc przekątnych w n-kącie wypukłym i dodać n krawędzi z obwodu. Wszystko to to samo
eesiek
\(\displaystyle{ {n \choose 2} = \frac{n(n-1)}{2}}\) więc de facto to samo

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 5 sie 2009, o 09:47

Tak, można też zastosować wzory z teorii liczb. Tylko co to ma wspólnego

alchemik · Post autor: **alchemik** » 5 sie 2009, o 10:07

Rysujesz dwa punkty (A, B), ile prostych możesz poprowadzić przez dwa punkty? Jedną.
Rysujesz trzeci punkt (C), I teraz jedną prostą rysujesz przechodzącą przez punkt C i B, a drugą przez C i A. Zatem rysując 3 punkty mamy kolejne dwie proste!

Teraz łatwo możesz zauważyć, że rysując kolejny punkt, musisz poprowadzić tyle prostych ile było punktów przed narysowaniem tego punktu. Zatem rysując czwarty punkt D musisz poprowadzić 3 proste odpowiednio do punktów A, B, C!

Rysując piąty punkt będą kolejne 4 proste i ostatecznie szósty punkt będzie 5 prostych.

Sumując wszystko otrzymasz:
1+2+3+4+5=15.

Oczywiście możesz zauważyć, że jest to suma ciągu arytmetycznego i wyjdzie ci wyżej podany wzór, możesz zastosować to także nie dla 6, tylko dla dowolonego n.

Taaaa, wspomienia, miałem takie zadanie na konkursie w gimazjum i jakos podobnie to wytłumaczałem .