1. Ile istnieje licz 5-cyfrowych o tylko dwóch używanych cyfrach?
2. Sześciu turystów wchodzi na 5 różnych szczytów. Na ile sposobów połowa z nich znajdzie się na tym samym szczycie?
Proszę o pomoc! ^^
Liczby 5-cyfrowe, turyści
Liczby 5-cyfrowe, turyści
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2008, o 21:39 przez Keeperpl, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 25 wrz 2008, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Liczby 5-cyfrowe, turyści
1. Bierzesz 2 cyfry spośród 10 na \(\displaystyle{ 10 \choose 2}\) sposobów. Możesz przy ich użyciu utworzyć \(\displaystyle{ 5^2}\) liczb, ale trzeba odjąć liczby postaci aaaaa. Jest ich 2. W sumie \(\displaystyle{ {10\choose 2} (5^{2}-2)}\)
Oddzielnie należy rozpatrzyć przypadek, gdzie trafimy na 0 (bo nie może wystąpić na początku)
Drugą cyfrę wybieramy na 9 sposobów i ustawiamy 0 na poczatku, takich możliwości mamy\(\displaystyle{ 4^2-1}\) (ciąg 00000 również nie spełnia kryteriów)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ {10\choose 2} (5^{2}-2) - 4^2-1}\)
2. Wybierzmy trzech turystów na \(\displaystyle{ {6\choose 2}}\) sposobów i wybierzmy dla nich górę na 5 sposobów. Ustawmy resztę dowolnie na \(\displaystyle{ 5^3}\) górach. Zauważmy, że jeśli wszyscy pójdą razem na inną górę niż wybrani albo którykolwiek z nich wejdzie na górę, na którą weszli wybrani, to policzymy to samo zdarzenie dwukrotnie.
Wszystkich możliwości wyborów pozostałych turystów jest \(\displaystyle{ 5^3}\). Zdarzeń, że wejdą razem na inną górę niż wybrani 4, a zdarzeń, że którykolwiek z nich wejdzie na góre wybranych \(\displaystyle{ 5^3 - 4^3}\)
Teraz wystarczy podsumować wnioski i wychodzi \(\displaystyle{ {6\choose 2}5^4- (5^3 - 4^3 + 4)}\)
Oddzielnie należy rozpatrzyć przypadek, gdzie trafimy na 0 (bo nie może wystąpić na początku)
Drugą cyfrę wybieramy na 9 sposobów i ustawiamy 0 na poczatku, takich możliwości mamy\(\displaystyle{ 4^2-1}\) (ciąg 00000 również nie spełnia kryteriów)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ {10\choose 2} (5^{2}-2) - 4^2-1}\)
2. Wybierzmy trzech turystów na \(\displaystyle{ {6\choose 2}}\) sposobów i wybierzmy dla nich górę na 5 sposobów. Ustawmy resztę dowolnie na \(\displaystyle{ 5^3}\) górach. Zauważmy, że jeśli wszyscy pójdą razem na inną górę niż wybrani albo którykolwiek z nich wejdzie na górę, na którą weszli wybrani, to policzymy to samo zdarzenie dwukrotnie.
Wszystkich możliwości wyborów pozostałych turystów jest \(\displaystyle{ 5^3}\). Zdarzeń, że wejdą razem na inną górę niż wybrani 4, a zdarzeń, że którykolwiek z nich wejdzie na góre wybranych \(\displaystyle{ 5^3 - 4^3}\)
Teraz wystarczy podsumować wnioski i wychodzi \(\displaystyle{ {6\choose 2}5^4- (5^3 - 4^3 + 4)}\)