Ustawianie losowo cyfr

[jacek_ns]

Cyfry \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,5,6}\) ustawmy losowo tworząc ciąg i potraktujmy go jako liczbę siedmiocyfrową której pierwszą cyfrą nie może być 0. Ile jest możliwych takich ustawień w których otrzymamy liczbę siedmiocyfrową a) dowolną b) podzielną przez 4 c) parzystą d)podzielną przez 25 z góry proszę o w miarę proste wytłumaczenie

[robin5hood]

ustawiamy je wiec bedzie \(\displaystyle{ 7!}\), odrzucamy tam gdzie było na początku 0, czyli \(\displaystyle{ 6!}\)
a)\(\displaystyle{ 7!-6!}\)
b)na końcu muszą byc 12,16,24,36,56 zatem pozostałe cyfry to 5!, orzucamy gdy zero na poczatku czyli 4!, wiec
\(\displaystyle{ (5!-4!) 5}\)
c)na końcu musi być 25zatem pozostałe cyfry to 5!, orzucamy gdy zero na poczatku czyli 4!, wiec
\(\displaystyle{ 5!-4!}\)

na końcu musi być 50 zatem pozostałe cyfry to 5!
zatem \(\displaystyle{ 5!+5!-4!}\)

[marcin_p321]

Co do pkt. a się zgadzam, natomiast reszta to poezja .

a.d. b
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 10^{7}*c _{1} + ... + 10*c_{6} + c_{7} = 4(2^{5}*5^{7}*c_{1} + ... + 5^{2}*c_{5}) + 10*c_{6} + c_{7} \equiv 10*c_{6} + c_{7} (\mod 4)}\)
gdzie \(\displaystyle{ c_{1},...,c_{7}\in \{0,...,9\}}\) i \(\displaystyle{ c_{1} 0}\)

A to oznacza, że liczba jest podzielna przez 4 w.t.w. liczba otrzymana przez jej "obcięcie" do dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. Dobre końcówki to:
\(\displaystyle{ 00, 04, 08, ... ,96}\)
Z cyfr, jakie mamy do dyspozycji możemy poskładać: \(\displaystyle{ 04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 52, 56, 60, 64}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ 12}\) możliwych końcówek.

Teraz wystarczy dobrać resztę cyfr do danej końcówki. Trzeba zauważyć, że dla przypadków, w których w ogonie pojawia się \(\displaystyle{ 0}\) nie trzeba odejmować konfiguracji z \(\displaystyle{ 0}\) na początku (tak jak w przykładzie a).
Wszystkich dobrych permutacji jest więc:
\(\displaystyle{ 4*5! + 8*(5!-4!)}\)

a.d. c
Wystarczy wziąć na ostatnią cyfrę liczbę parzystą, czyli 0, 2, 4 lub 6. Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ 6! + 3*(6! - 5!)}\)


Przykład d jest zupełnie analogiczny do b (a wynika to m.in. z tego że \(\displaystyle{ 2*5=10}\)).

Pozdrawiam.

[gosia19]

Czy mógłby ktoś wyjaśnić dokładnie podpunkt b?

[Mistrz]

Raz jeszcze podpunkt b):
Mamy 12 dobrych końcówek (jak wymienił je marcin_p321), z czego cztery są z zerem, a osiem nie.
W przypadku końcówki z zerem rozumowanie dla każdej z tych czterech końcówek przebiega tak: Na 6. i 7. miejscu mamy jednoznacznie ustalone cyfry. Pozostaje pięć cyfr które chcemy ustawić na pierwszych pięciu miejscach i możemy to zrobić dowolnie, czyli mamy 5! takich ustawień.
W przypadku końcówki bez zera rozumowanie dla każdej z tych ośmiu końcówek przebiega tak: Na 6. i 7. miejscu mamy jednoznacznie ustalone cyfry. Na pierwszym miejscu mamy jedną z czterech cyfr (bo na pierwszym miejscu nie chcemy zera). Pozostałe cztery cyfry ustawiamy dowolnie na pozycjach 2.-5. Takich ustawień jest 4!, czyli razem będzie to \(\displaystyle{ 4\cdot 4!}\), czyli \(\displaystyle{ 5!-4!}\).

[gosia19]

Bardzo dziękuję. Teraz wszystko jasne