Witam, jestem nowy i nie jestem matematykiem
z gory przepraszam jezeli to nieodpowiedni watek,
rozwiazywalem dzis zagadke logiczna :
"Na przyjeciu byly same pary malzenskie, w czasie pozegnania wymieniono 220 usciskow dloni. Malzonkowie nie zegnali sie ze soba. Ile par bylo?"
z glowy ulozylem cos takiego :
\(\displaystyle{ (2x-1) + (2x-2) + (2x-3) + ... + (2x-n) = 220}\)
(gdzie x - liczba kobiet = liczba mezczyzn, n=x-1)
jak sie cos takiego rozwiazuje?
pozdrawiam,
lobuz
wymiana uścisków
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
wymiana uścisków
Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza lb. par małżeńskich, które były na przyjęciu.
założenie: \(\displaystyle{ x\in \{1,2,3,4,...\}}\)
Na przyjęciu było \(\displaystyle{ 2x}\) osób. Przyjmujemy, że kolejność przy żegnaniu się dwóch osób nie odgrywa roli. Liczba pożegnań będzie równa liczbie wszystkich dwuelementowych kombinacji zbioru \(\displaystyle{ 2x}\)-elementowego.
\(\displaystyle{ C^{2}_{2x}={2x\choose 2}=\frac{(2x)!}{2!(2x-2)!}=\frac{(2x-2)!(2x-1)2x}{2(2x-2)!}=(2x-1)x=2x^{2}-x}\)- tyle pożegnań nastąpi przy spotkaniu się \(\displaystyle{ 2x}\) osób
Jednakże wiemy, iż małżonkowie nie żegnali się ze sobą, zatem liczba uścisków dłoni będzie równa:
\(\displaystyle{ C^{2}_{2x}-x=2x^{2}-x-x=2x^{2}-2x}\).
Z treści zadania wiemy, że w czasie pożegnania wymieniono \(\displaystyle{ 220}\) uścisków dłoni, zatem:
\(\displaystyle{ 2x^{2}-2x=220 \iff x^{2}-x-110=0 \iff (x-11)(x+10)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x=-10 x=11}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\in \{1,2,3,4,...\}}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=11}\).
Odp.: Na przyjęciu było \(\displaystyle{ 11}\) par.
założenie: \(\displaystyle{ x\in \{1,2,3,4,...\}}\)
Na przyjęciu było \(\displaystyle{ 2x}\) osób. Przyjmujemy, że kolejność przy żegnaniu się dwóch osób nie odgrywa roli. Liczba pożegnań będzie równa liczbie wszystkich dwuelementowych kombinacji zbioru \(\displaystyle{ 2x}\)-elementowego.
\(\displaystyle{ C^{2}_{2x}={2x\choose 2}=\frac{(2x)!}{2!(2x-2)!}=\frac{(2x-2)!(2x-1)2x}{2(2x-2)!}=(2x-1)x=2x^{2}-x}\)- tyle pożegnań nastąpi przy spotkaniu się \(\displaystyle{ 2x}\) osób
Jednakże wiemy, iż małżonkowie nie żegnali się ze sobą, zatem liczba uścisków dłoni będzie równa:
\(\displaystyle{ C^{2}_{2x}-x=2x^{2}-x-x=2x^{2}-2x}\).
Z treści zadania wiemy, że w czasie pożegnania wymieniono \(\displaystyle{ 220}\) uścisków dłoni, zatem:
\(\displaystyle{ 2x^{2}-2x=220 \iff x^{2}-x-110=0 \iff (x-11)(x+10)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x=-10 x=11}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\in \{1,2,3,4,...\}}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=11}\).
Odp.: Na przyjęciu było \(\displaystyle{ 11}\) par.