umieszczanie kul w urnach

[robin5hood]

Mamy danych k jednakowych urn , oraz n kul zielonych i m kul białych.
Na ile sposobów można te kule umieścić w tych urnach, jęśli urny są nierozróżnialne, a na ile gdy są roróżnialne?

[Grzegorz t]

Przykładowo, jeśli mamy rozmieścić \(\displaystyle{ n}\) jednakowych elementów (kule zielone) w \(\displaystyle{ k}\) różnych (rozróżnialnych) urnach to można to uczynić na \(\displaystyle{ C^{k-1}_{k+n-1}}\) sposobów. Jeśli chcemy umieścić \(\displaystyle{ m}\) jednakowych elementów (kul białych) w \(\displaystyle{ k}\) różnych (rozróżnialnych) urnach to analogicznie można to uczynić na \(\displaystyle{ C^{k-1}_{k+m-1}}\) sposobów. Wszystkich sposobów mamy \(\displaystyle{ C^{k-1}_{k+n-1}\cdot C^{k-1}_{k+m-1}}\). Są to kombinacje z powtórzeniami.
Podobne zadanie, jeśli mamy rozdzielić 5 jednakowych cukierków pomiędzy 7 osób - kombinacje z powtórzeniami - elementy się powtarzają, ale kolejność nie jest istotna.
Spróbuj pomyśleć, jak będzie, gdy urny są jednakowe (nierozróżnialne.
pozdrawiam...

[robin5hood]

a mógłbyś napisać z góry dzieki

[Grzegorz t]

Jeszcze pomyślę nad drugim przypadkiem, o ile ktoś wcześniej nie napisze odpowiedzi.

[ Dodano: 17 Września 2008, 20:09 ]
W drugim przypadku, gdzy urny są jednakow,e będzie niestety trzeba wprowadzić założenie, czy kul jest więcej niż urn czy też nie. Np. jeśli rozmieszczamy \(\displaystyle{ n}\) kul zielonych w \(\displaystyle{ k}\) urnach i \(\displaystyle{ n qslant k}\) to liczba możliwości jest \(\displaystyle{ n}\), natomiast, gdy \(\displaystyle{ n qslant k}\) to możliwości mamy \(\displaystyle{ k}\).Zatem zakładając w zadaniu, że \(\displaystyle{ n,m qslant k}\) możliwości mamy \(\displaystyle{ k^2}\). Gdy np. \(\displaystyle{ n qslant k, m qslant k}\) możliwości mamy \(\displaystyle{ k\cdot m}\) i tak dalej.
Weźmy sobie prosty przykłąd by to zobrazować
Mamy k urn jednakowych \(\displaystyle{ k,k,k,k,k,..,k}\)
oraz n kul zielonych \(\displaystyle{ n,n,n,n,n,...,n}\), \(\displaystyle{ n qslant k}\). To dla np. \(\displaystyle{ k=5}\), a \(\displaystyle{ n=3}\) tworzymy takie pary \(\displaystyle{ (nk,nk,nk,k,k), (nnk,nk,k,k,k)
,(nnnk,k,k,k,k)}\) mamy \(\displaystyle{ 3}\) możliwości. Nie możemy np. wziąć takiej pary \(\displaystyle{ (nnk,k,nk,k,k)}\) bo zawiera się ona już we wcześniej wypisanych możliwościach.[/latex]
Zatem podsumowując wszystko zależy od tego, czy ilość \(\displaystyle{ m.n}\) jest większa os liczby urn.
Zazwyczaj w zadaniach mamy różne urny, często numerowane, a w nich rozmieszczamy jednakowe, bądź nie - kule.
pozdrawiam...