Prosta rekurencja z funkcją tworzącą

[adam-ek]

Napisz funkcję tworzącą rozwiąż rekurencję.
\(\displaystyle{ B_{0}=2}\)

\(\displaystyle{ B_{n}=-3B_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ b qslant 1}\)
rozwiązanie :

\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}B_nx^n}\)

\(\displaystyle{ F(x)-2=-3xF(x)}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{2}{1+3x}}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}2(-3)^nx^n}\)

czyli \(\displaystyle{ B_n=2(-3)^n}\) dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\)

Nie jestem mistrzem z rekurencji i funkcji tworzących , można prosić o wyjaśnienie , rozpisanie , dwóch ostatnich przekształceń ? Dziękuję

[nedroxn]

dołączam się do adam-ka z tą samą prośbą : )

[Qń]

Nie wiem co dokładnie jest niejasne, więc po kolei:

\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}B_nx^n}\)

Definicja funkcji tworzącej ciągu.

\(\displaystyle{ F(x)-2=-3xF(x)}\)

Ta równość wynika z określenia rekurencji, bo:
\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}B_nx^n= B_0 + \sum_{n=1}^{\infty}B_nx^n =
2 + \sum_{n=1}^{\infty}(-3B_{n-1})x^{n-1}x= \\ =
-3x\sum_{n-1=0}^{\infty}B_{n-1}x^{n-1} =2-3xF(x)}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\frac{2}{1+3x}}\)

To jest po prostu wyznaczenie \(\displaystyle{ F(x)}\) z poprzedniego wzoru.

\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}2(-3)^nx^n}\)

Korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1-t} = 1+t+ t^2 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}t^n}\) i aplikujemy to dla \(\displaystyle{ t=-3x}\)
To zachodzi oczywiście tylko dla \(\displaystyle{ |t|<1}\), ale tym się specjalnie nie przejmujemy.

\(\displaystyle{ B_n=2(-3)^n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

No skoro:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}B_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty}2(-3)^nx^n}\)
to współczynniki przy odpowiednich potęgach iksa są równe, co oznacza właśnie, że zachodzi powyższa równość, będąca rozwiązaniem rekurencji.

Q.