wykazać - suma współczynników Dwumianu Newtona = 2 do n-tej

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Milva
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ty jesteś ?

wykazać - suma współczynników Dwumianu Newtona = 2 do n-tej

Post autor: Milva »

Czy istnieje jakiś dowód na to, że :

\(\displaystyle{ {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n} = 2^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n N_{+}}\)

Chodzi mi o to, czy da się to wykazac za pomocą jakichs przekształeceń, czy po prostu wystarczy powiedzieć, że wynika to z Trójkąta Pascala? Czy jeśli zawazy się, że liczby odpowiedniego (n-tego) wiersza Trójkąta Pascala to wyniki poszczególnych Symboli Newtona tej sumy i że po ich zsumowaniu otrzymamy zawsze 2 do n-tej, to juz jest to wykazanie, że podane równanie zachodzi?
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

wykazać - suma współczynników Dwumianu Newtona = 2 do n-tej

Post autor: Szemek »

\(\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ (1+1)^n={n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n} = 2^{n} \\
(1+1)^n=2^n}\)
Xitami

wykazać - suma współczynników Dwumianu Newtona = 2 do n-tej

Post autor: Xitami »

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k }}\) czyli na ile sposobów możemy wybrać podzbiór z \(\displaystyle{ n}\) elementów, zaczynając od pustego a na na całości kończąc.
Można inaczej, każdy z \(\displaystyle{ n}\) albo zostanie wybrany albo nie, czyli dwie możliwości, wszystkich jest \(\displaystyle{ n}\) czyli wszystkich sposobów wyboru jest \(\displaystyle{ 2*2*2*...}\), iloczyn \(\displaystyle{ n}\) dwójek czyli właśnie \(\displaystyle{ 2^n}\).
frej

wykazać - suma współczynników Dwumianu Newtona = 2 do n-tej

Post autor: frej »

Nieraz już to było. Można także indukcyjnie
marta_d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 22 maja 2014, o 11:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: warszawa

wykazać - suma współczynników Dwumianu Newtona = 2 do n-tej

Post autor: marta_d »

mam problem przy ostatnim kroku indukcyjnym proszę pomóżcie mi go wyłapać :

\(\displaystyle{ \sum_{0}^{n+1}}\) \(\displaystyle{ n+1\choose k}\) =1+ \(\displaystyle{ \sum_{0}^{n}}\) \(\displaystyle{ n+1\choose k}\)=1+\(\displaystyle{ \sum_{0}^{n}}\) \(\displaystyle{ n\choose k}\)+ \(\displaystyle{ n\choose k-1}\)=1+\(\displaystyle{ 2^n}\)+\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n+1}}\)\(\displaystyle{ n\choose k-1}\)=1+\(\displaystyle{ 2^n}\)+\(\displaystyle{ \sum_{0}^{n}}\)\(\displaystyle{ n\choose k}\)=1+\(\displaystyle{ 2^n+2^n}\)=1+\(\displaystyle{ 2^{n+1}}\)
ODPOWIEDZ