iloczyn wylosowaych liczb ma byc podzielny przez 8

[Ciri123]

Witam,

mam problem z takim zadaniem z kombinatoryki:

Ze zbioru liczb {1,2,3,...,15} losujemy jednocześnie dwie. Ile jest możliwych wyników losowania, tak aby iloczyn obu liczb był podzielny przez 8?

Mianowicie, chodzi mi o to, czy to zadanie da się zrobić metodą okienkową bez rozpatrywania aż tak wielu przypadków. Udało mi się bowiem je rozwiązać, ale rozpatrzyłam 6 przypadków i z ich sumy wyszedł dopiero wynik wszystkich mozliwych kombinacji. ( rozpatrywałam to jako mnożenie kolejnych liczb parzystych 2x(rożne możliwości), potem 4x(rożne możliwości) w ten sposób doszłam do 12x14 (tylko jedna możliwośc jako druga liczba, bo inaczej doszłoby do powtórzenia), z 14 już oczywiście nie rozpatrywałam, bo byłoby to powtórzenie wcześniejszego przpadku). Wynik wyszedł mi taki jak podano w odpowiedziach - 23.

Czy da się to zrobić jakoś krócej przy użyciu metody okienkowej? Proszę o odpowiedź :>

[spajder]

dlaczego aż sześć?
1. losujemy ósemkę i cokolwiek, czyli \(\displaystyle{ 1\cdot {14 \choose 1}=14}\) sposobów
2. losujemy \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 12}\) oraz jakąś inną liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\): \(\displaystyle{ {2 \choose 1}\cdot {5 \choose 1}-1 = 10-1=9}\) sposobów (to minus jeden dlatego, że dwa razy policzyliśmy, gdy wylosujemy jednocześnie \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 12}\). Nie wliczyłem w to oczywiście \(\displaystyle{ 8}\), bo to było we wcześniejszym punkcie

i tyle

[Milva]

Ja się jeszcze chciałem dopytac, bo mam podobne. Dlaczego akurat 4 i 12, no bo to, że 8 jest oczywiste. Dlaczego nie np. 2 i 12, 6 i 14 ? Chodzi mi o ogólny algorytm rozwiązywania takich zadań, w których jest polecenie, że iloczyn ma byc podzielny przez daną liczbę... ten sposób w pierwszym poście może i jest długi, ale da się zastosować do wszystkiego, a w tym drugim nie rozumiem doboru akurat tych liczb

[Xitami]

1 8
2 4
2 8
2 12
3 8
4 6
4 8
4 10
4 12
4 14
5 8
6 8
6 12
7 8
8 9
8 10
8 11
8 12
8 13
8 14
8 15
10 12
12 14
razem 23

rozłóżmy liczby od 1 do 15 na czynniki pierwsze
1, 2, 3, 2*2, 5, 2*3, 7, 2*2*2, 3*3, 2*5, 11, 2*2*3, 13, 2*7, 3*15
z ósemką możemy wylosować cokolwiek (14),
pozostawmy tylko te które w rozkładzie mają dwójkę (parzyste) i odrzućmy 8
2, 2*2, 2*3, 2*5, 2*2*3, 2*7
pozostało 6 liczb, 12 to 2*2*3, czyli z 12 można wylosować dowolną z pozostałych (5)
odrzucam 12, zostało 5 liczb: 2, 2*2, 2*3, 2*5, 2*7
czwórka to 2*2, potrzebujemy jeszcze jednej dwójki czyli dowolnej z pozostałych (4)
odrzucamy czwórkę
2, 2*3,2*5, 2*7
żeby iloczyn był podzielny przez 8 musimy mieć minimum 3 ósemki, a tego już nie da się zrobić
14+5+4=23